По-моему, небольшое введение в мат.логику как раз не повредит. Просто, чтобы понимать, в чем глупость.
В матлогике есть формулы, которые обозначают какие-то объекты, и есть формулы, которые обозначают отношения между объектами.
Формулы первого вида называются термами. Они обычно строятся таким образом: есть символы, обозначающие какие-то фиксированные объекты в теории - символы констант. Есть символы, которые могут обозначать произвольные объекты - символы переменных, и есть символы функций, которые позволяют из одних термов строить другие.
Например, если мы рассматриваем арифметику второго порядка (а мы на самом деле рассматриваем сейчас ее), то у нас есть объекты двух типов - числа и множества. Есть константа 0, которая обозначает число, и есть константа

, которая обозначает множество, и функциональный символ

, переводящий число в число.
Формулы, которые обозначают утверждения и отношения между объектами, получаются с помощью предикатных символов. Если есть некоторые термы, то их можно соединить предикатным символом и получить формулу. В арифметике у нас есть символы

и

. Еще формулы получаются с помощью логических связок и кванторов из более простых формул.
Аксиомы нужны для того, чтобы зафиксировать, какие именно отношения между объектами должны выполняться в нашей теории. Есть логические аксиомы, в них мы вдаваться не будем, это всем привычные вещи типа того, что если верны утверждения

и

, то верно и

, что равные вещи можно заменять друг на друга и т п. А есть аксиомы, которые определяют именно ту теорию, которую мы хотим изучать.
Вот мы хотим, чтобы ряд натуральных чисел выглядел как бесконечная цепочка следующих друг за другом объектов, начинающаяся с 0. Для этого мы и говорим

, чтобы у нас был 0, говорим

, чтобы у нас была цепочка, говорим, что

, чтобы 0 был в начале, говорим

, чтобы нельзя было, начав цепочку, вернуться в какой-нибудь элемент, который у нас уже есть, и говорим
![$[0\in X \& \forall x \in\mathbb{N} (x\in X\to Sx\in X)] \to \forall z\in \mathbb{N} (z\in X)$ $[0\in X \& \forall x \in\mathbb{N} (x\in X\to Sx\in X)] \to \forall z\in \mathbb{N} (z\in X)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/7/b77412298b376b1e5714f6ef35b6f56d82.png)
, чтобы в цепочке не было лишних вещей, то есть, начав с 0 и следуя по цепочке, определенной функцией

, мы точно получим все натуральные числа.