Аксиоматика натурального ряда чисел.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929248 писал(а):

Порядок же ведется натуральными числами -- это уже определение самого натурального ряда, который, по моим представлением, независим в данном случае от аксиом: если я не указываю начальные условия для $i$.

Ну, я не знаю как объяснить по-другому
Имелось в виду, что индексом я обозначаю лишь порядок, который зависит от данного мною вначале значения. Поэтому, чтобы не впадать в такие вот противоречия, я заменяю $i+1$ на $j$ (хотя эту замену я делаю только с целью избавления от излишнего загромождения), а функцию, которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число, через индексирование числа $x$.

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929254 писал(а):

Поэтому, чтобы не впадать в такие вот противоречия

Почему нельзя пользоваться стандартными обозначениями?

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929252 писал(а):

Какого чёрта?

Не вижу никакого черта. Я не пытаюсь определить $i$ и $j$ -- они здесь лишь для записи аксиом на математическом языке. provincialka же имела в виду, как мне показалось, внутреннее противоречие аксиоматического построения натурального ряда чисел с тем, что $i$ и $j$ суть уже натуральные числа.
Но мне их совершенно не надо находить -- я задаю их сам. Отсюда независимость.

[provincialka]

Вот не надо вводить новые сущности. У вас есть отношение "следования", им все и определяется. Понятие "последовательность", как частный случай функции - более сложный математический объект, чем просто натуральные числа.

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929257 писал(а):

Почему нельзя пользоваться стандартными обозначениями?

За тем я и здесь! Пока что мне нигде не довелось рассмотреть выражения в стандартных обозначениях (с учетом того, что Бухштаб вообще не дает чисто математического выражения аксиом).

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929259 писал(а):

Но мне их совершенно не надо находить -- я задаю их сам.

Тогда это будут ваши числа и ваши аксиомы. К Пеано они уже не имеют отношения.

[Phaenomenon]

Так, я начинаю несколько запутываться -- этого мне мало хотелось бы именно сейчас.
Предлагаю все сначала.

1) Приемлемо ли такое математическое обозначение четвертой аксиомы Пеано:

$$(x_{j}' = x_{i} \land x_{j}'' = x_{i}) \Rightarrow x' = x'', \qquad j=i+1.$$

2) Верно ли я понял метод полной математической индукции? Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=a$ и предполагается для любого такого натурального числа $k$, что $a≤k<n$ вследствие чего допускается верность $P(n)$, то $P(k≥a)$ верно для любых натуральных $k$.

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929261 писал(а):

Пока что мне нигде не довелось рассмотреть выражения в стандартных обозначениях

Видимо, у нас разные представления о стандартах в обозначениях.

-- 10.11.2014, 18:58 --

Phaenomenon в сообщении #929266 писал(а):

Верно ли я понял метод полной математической индукции? Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=a$ и предполагается для любого такого натурального числа $k$, что $a≤k<n$ вследствие чего допускается верность $P(n)$, то $P(k≥a)$ верно для любых натуральных $k$.

Неверно. Это вообще набор слов. В первый раз я подумала, что вы просто не отредактировали текст. Тут даже непонятно, где подлежащее в предложении, где сказуемое.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929263 писал(а):

Тогда это будут ваши числа и ваши аксиомы. К Пеано они уже не имеют отношения.

Индексы, я задаю сам индексы. Только порядок. Сущность аксиомы никуда не делась. Ведь значение четвертой аксиомы заключается в том, что за определенным числом следует единственное отличное определенное число.

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929261 писал(а):

За тем я и здесь!

Википедия!

Phaenomenon в сообщении #929266 писал(а):

Приемлемо ли такое математическое обозначение четвертой аксиомы Пеано:

Нет.

Phaenomenon в сообщении #929266 писал(а):

Верно ли я понял метод полной математической индукции?

Нет.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929267 писал(а):

Неверно. Это вообще набор слов. В первый раз я подумала, что вы просто не отредактировали текст. Тут даже непонятно, где подлежащее в предложении, где сказуемое.

Нет, это я в спешке неправильно записал. Действительно, звучит глупо и бессмысленно.
Вот: Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=a$ (или можно просто оставить $a$) и для любого такого натурального числа $k$, что $a \leqslant k < n$ вследствие чего вытекает верность $P(n)$, то $P(k \geqslant a )$ верно для любых натуральных $k$.

[arseniiv]

Phaenomenon в сообщении #929266 писал(а):

1) Приемлемо ли такое математическое обозначение четвертой аксиомы Пеано:

$$(x_{j}' = x_{i} \land x_{j}'' = x_{i}) \Rightarrow x' = x'', \qquad j=i+1.$$

Да нет же. Тут много лишнего и вообще непонятно как относящегося к делу. Вот пусть следующее за $n$ число будет обозначаться $Sn$ (чтобы не путаться со штрихами). Аксиома из арифметики без теории множеств в таком случае записывается просто как

$$[\forall m\;\forall n]\; Sm = Sn \Rightarrow m = n$$

(внешние неограниченные кванторы $\forall$ можно опускать). И всё! Скажите, легко ли у вас читается такая формула, и что обозначает? (На всякий случай.)

В вашем случае, с множествами, она будет выглядеть как-то так:

$$\forall m\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N\; Sm = Sn \Rightarrow m = n.$$

Кстати, как у вас все предыдущие аксиомы записались?

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929272 писал(а):

Википедия!

Странная здесь тенденция: многие здешние умы постоянно критикуют информацию на википедии и рьяно утверждают, что прибегать к ней вовсе не следует, а некоторые наоборот, полностью поддерживают ее. Я на стороне первых. Было бы глупо мне создавать тему, когда можно было бы спокойно слизать все с википедии -- нет уж, я не такой.

[provincialka]

Еще раз повторяю: пара "объект + индекс" - это новый, более сложный объект, чем просто натуральное число, построенное аксиоматически. У вас нет определения этому комбинированному объекту.

[arseniiv]

В принципе, коли уж теория множеств есть, индексирование тоже получаеми из коробки — это же просто применение функции. Другое дело, что индексы тут совершенно не ясно зачем.