понятия дифференциального и интегрального исчисления

[rambler87]

Различаются ли понятия понятия у математиков и физиков и насколько сильно?
Так у нас на лекциях по физике взяли в привычку отождествлять dx в dy/dx с понятием бесконечно малой величины - когда я спросил у математиков насколько это справедливо - они сказали, что это представления средневековья - физики мыслят часто понятием (неделимых) бесконечно малых от которых математики ушли.
Вообще dx без дроби - несет ли информацию и какую?

А как вы считаете?
Вообще как начинаются дифференциалы - так возникает (в дидактике и обучении не мат специальностей) полный разброд интерпретаций мнений и т.д.

PS что бы вы в этом плане порекомендовали почитать - чтобы уяснять истинный математико-физический смысл дифференциального и интегрального исчисления - начиная от истории его возникновения
Смирнов Курс математики - не знакомы?

[Xaositect]

Ну, XVII век это уже не средние века, но действительно, у Ньютона и Лейбница производные - это отношения бесконечно малых изменений, а не пределы, как мы их определяем сейчас. Потом при формализации анализа стало понятно, что бесконечно малых чисел не бывает, и оно было заменено на бесконечно малые последовательности и функции, а производная стала пределом. Позже, в XX веке, были построены системы, в которых бесконечно малые числа есть (нестандартный анализ), но поскольку все проще от этого не становится, остался классический анализ с пределами. В физике же работают с отношениями малых (не бесконечно малых) величин, но для этого удобно использовать дифференциальное исчисление, считая малые величины бесконечно малыми.

А дифференциал в современной математике - это элемент кокасательного пространства к многобразию, но это Вы потом изучите, после матанализа.

rambler87 в сообщении #925500 писал(а):

PS что бы вы в этом плане порекомендовали почитать - чтобы уяснять истинный математико-физический смысл дифференциального и интегрального исчисления - начиная от истории его возникновения.

Начиная от истории возникновения не надо. Лучше сначала уяснить смысл дифференциального и интегрального исчисления в современном изложении (математический, это все-таки математическая теория сейчас) и познакомиться с тем, как оно применяется в физике. А потом уже разбираться с историей и обобщениями

[rambler87]

Спасибо большое!
У меня была математика (только до поверхностей и объемов дошли) но тех вузе - и Вы, наверное, представляете что это такое: "горстка рецептов на все случае жизни для инженера": никакого глубокого понимания и смысла той "абракадабры" что записывается и преобразуется на уровне "автомата".
Хотелось бы изучить математику основательнее (на более глубоком уровне осмысления) и в связи её с физикой (не чистую абстракцию), чтобы не было так, как мне сказали на мат форуме одном: "математика у физиков своя" из прошлых веков.
Недавно нашел книжку Колмогорова касаемо основ математики: а Вы бы что конкретно и в какой последовательности рекомендовали?
PS
иногда обязательно надо обращать внимание на историю формирования понятий, формулировки в их изначальной форме? - по крайней мере, четко понимать причину возникновения конкретного раздела математики

[Munin]

Если очень неймётся, можете взять, скажем, книжку Зорича по матанализу.

Если очень просто, дифференциал $dy$ - это функция (в заданной точке $x$), которая каждой отдельно взятой величине "шаг по горизонтали" сопоставляет величину "шаг по вертикали", то есть, $dy(h)=H.$ Но дальше, это не простая функция, а линейная (линейная однородная). Все линейные однородные функции имеют вид $y=kx,$ и эта функция тоже может быть так записана: $dy(h)=H=kh.$ Вот эта самая величина $k$ - она оказывается равна производной, то есть, $dy(h)=f'(x)\cdot h.$ А график функции $dy(h)=H,$ если его откладывать в нужной точке, оказывается графиком касательной к графику $f(x).$

Аналогично можно понять и дифференциал $dx,$ если смотреть на него как соответствующий функции $f(x)=x.$

Фраза "элемент кокасательного пространства к многобразию" - это ровно упоминание такой линейной функции (ко-касательное пространство - пространство таких линейных функций в точке).

С точки зрения математики, получается, что понятия "дифференциал" и "производная" практически одинаковы, изоморфны. Поэтому одно из них "лишнее", без него можно вообще обойтись в рассказе и в рассуждениях. Так обычно и делают.

А вот в физике это не так удобно: удобно пользоваться понятиями "достаточно малое изменение величины", и "отношение малых изменений - производная", и тем и другим.

[rambler87]

Спасибо за разъяснения и книжку)
Но вообще формулировки физиков грубо говоря для "современных математиков" не должны казаться несоответствующими реальному положению дел?

[Munin]

А вы про какое реальное положение дел? Если подразумевать принятые в математике на сегодня определения, то - часто не соответствуют. Но не настолько, чтобы это несоответствие играло большую роль в обычных вычислениях физиков. Оно проходит по каким-то нюансам, которые у физиков не встречаются, и роли не играют. Зато для математиков эти нюансы важны: они отличают строгую систему от нестрогой, "дырявой".

[rambler87]

То есть, особенно при изучении физики, как правило достаточно нестрогих мат систем и уход от загруженности тех или иных моделей излишней мат. формализацией.
Однако, математический формализм (современный) имеет ведь какую-то "практическую ценность, направленность" для физиков или любых других задач, связанных с формализацией моделей и методов работы с ними?
Спасибо

[Munin]

rambler87 в сообщении #926720 писал(а):

То есть, особенно при изучении физики, как правило достаточно нестрогих мат систем и уход от загруженности тех или иных моделей излишней мат. формализацией.

Да, пожалуй, вы правильно изложили.

rambler87 в сообщении #926720 писал(а):

Однако, математический формализм (современный) имеет ведь какую-то "практическую ценность, направленность" для физиков или любых других задач, связанных с формализацией моделей и методов работы с ними?

Да, имеет. Но не со стороны "излишней формализации", а со стороны идей конкретных объектов и теорий. Со стороны методов вычисления, связанных с этими объектами.

Например, вы наверняка знаете, что физические величины бывают скалярные (числовые) и векторные. А математика подсказывает, что есть и более сложные объекты аналогичного типа, целая "башня" различных тензоров, в которой скаляры и векторы соответствуют всего лишь нулевому и первому этажу. И оказывается, в физике их есть куда приложить! Обнаруживаются физические величины, которые удобнее всего, и естественнее всего, считать именно тензорами. В элементарной физике таких немного, в основном в кристаллографии, но чем дальше в теоретическую физику, тем их больше. Общую теорию относительности (ОТО) без них уже не изложить. Правда, это пример не слишком современный, столетней давности.

Есть и примеры применения математических достижений полувековой давности, и даже более современных. Например, не в физике, а в информатике (Computer Science) используются математические теории алгоритмов и вычислимости, графов, автоматов, грамматик, и т. д. Но всё-таки, чем ближе к современности, тем меньше шансов, что математическая теория вообще нашла какое-то применение вне математики. Этот процесс небыстрый, и занимает всё-таки десятилетия (а иногда и столетия). Математика в основном работает для самой себя, и для удовлетворения собственных интересов (и собственного интереса).

[rambler87]

Спасибо большое - был бы такой учебник научно-популярный разъясняющий физику -математику их взаимосвязь и развитие) - без жутких формализаций это возможно только приведением гипербол и иносказаний)

[Munin]

Кое-что есть в Фейнмановских лекциях по физике.
Ещё есть книжка
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников.
В первом издании она называлась
Зельдович. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике.
Но там дальше дифуров не идут.

[Zai]

Цитата:

Различаются ли понятия понятия дифференциального и интегрального исчисления у математиков и физиков и насколько сильно?

Интегральное исчисление прежде всего допускает наличие разрывов в описании.
До появления основ понимания теории статистической физики эти понятия были трудно различимы. Экспериментальные данные например в механике турбулентных потоков с бесконечным множеством тангенциальных разрывов показали, что некоторые параметры сплошной среды описываются скорее функцией Дирихле, нежели непрерывно дифференициируемыми функциями вместе с их производными. Математики более консервативны в своих формулировках в силу их костности. Физикам значительно проще ввиду эмпиричности их знаний, но порой они даже не знают к какому исчислению принадлежат их экспериментальные данные.

[provincialka]

Zai, а причем тут косность? Тем более "косТность"?

[Zai]

(Оффтоп)

Да мне тоже интересно по каким причинам нет Нобелевских премий по математике. Сожалею, что допустил грамматическую ошибку.

[provincialka]

(Оффтоп)

Опечатка - бог с ней. А вот обижать математиков зачем

[Zai]

(Оффтоп)

Да кто же их обижает? Мы их любим и гордимся их результатами как таблицами Брадиса. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1 ... 0%B8%D1%87
Суть то косности в том, что математики не понимают физичности результатов вычислений.