Преобразование Лоренца как матричная экспонента

[Legioner93]

Где можно об этом почитать? Желательно, чтобы было написано "для физиков" (я себя к ним не причисляю, но в данный момент мне нужно решить несколько задач на СТО).
Нашёл "Гельфанд Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения" - но там как-то всё... Наскоком не берётся, в общем

[Munin]

Я не уверен, но может быть, в ЛППТ (Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски). Кроме того, не про Лоренца, а про другие матрицы, Рубаков "Классические калибровочные поля".

Но в принципе, штука очень простая, её быстрее объяснить на пальцах, чем читать в книге. Что такое экспонента? Это решение уравнения $dy/dx=kx.$ Для разных $k,$ и для начального условия $y|_{x=0}=1,$ решениями будут $e^{kx},$ не так ли? И подставляя $x=1,$ мы получим и конкретные числа $e^k.$

Теперь сделаем то же самое с матрицами. Возьмём для начала матрицы $2\times 2,$ и будем считать $Y$ и $K$ такими матрицами, а $x$ - действительным параметром. Попробуйте записать дифференциальное уравнение, расписать его как систему обыкновенных дифференциальных уравнений, и решить, для:

$$K=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}.$$

Начальное условие, разумеется, - единичная матрица.

[DimaM]

Нам, помнится, давали матричную экспоненту (экспоненту от матрицы $A$) как предел ряда $I+A/1!+A^2/2!+A^3/3!+\ldots$. Но к Лоренцу это, как будто, отношения не имеет.
Можно записать Лоренца через быстроту как

$$\left( \begin{array}{ll} \cosh\theta & \sinh\theta \\ \sinh\theta & \cosh\theta\end{array} \right),$$

а в гиперболических функциях сидят экспоненты.

[amon]

В книжке
Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц [Наука, 1972]
третью главу посмотрите - может устроит.

[guryev]

Если понимать матричную экспоненту в этом смысле:

DimaM в сообщении #927038 писал(а):

$I+A/1!+A^2/2!+A^3/3!+\ldots,$

то

$$\begin{pmatrix}\gamma & -v\gamma \\ -v\gamma & \gamma \end{pmatrix} = \exp\begin{pmatrix}0 & -\mathrm{arth} v \\ -\mathrm{arth} v & 0 \end{pmatrix},$$

где $\mathrm{arth} v = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v},$
если только у меня не наврано. Выводится это через собственные значения матрицы преобразования Лоренца.

[Munin]

DimaM в сообщении #927038 писал(а):

Нам, помнится, давали матричную экспоненту (экспоненту от матрицы $A$) как предел ряда $I+A/1!+A^2/2!+A^3/3!+\ldots$.

Это стандартное определение в математике, но оно очень неудобно, чтобы интуитивно понять и "пощупать" эту штуку. Дифуры линейные решать мы все умеем, а ряд суммировать - такая морока...

Гиперболические функции в зарубежной литературе принято обозначать $\sinh,\cosh,\tanh,$ а в отечественной $\sh,\ch,\th,$ и на нашем форуме (при разговорах по-русски) вроде тоже :-)

-- 05.11.2014 23:16:42 --

Заодно, глядя на дифур, сразу понятно, что матричная экспонента будет матрицей, в элементах которой стоят обычные экспоненты, помноженные на степени. Косинусы, синусы, гиперболические функции - это всё частные случаи экспонент.

[Legioner93]

amon в сообщении #927081 писал(а):

Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц [Наука, 1972]
третью главу посмотрите - может устроит.

То что нужно, спасибо. По-крайней мере некоторые буквы даже совпадают с теми, что у меня в методичке

Munin
Вашу книжку я не нашёл, к сожалению.

Что такое матричная экспонента я знаю, но спасибо всем, кто попытался рассказать!:)

-- Чт ноя 06, 2014 01:01:15 --

guryev в сообщении #927097 писал(а):

Если понимать матричную экспоненту в этом смысле:

DimaM в сообщении #927038 писал(а):

$I+A/1!+A^2/2!+A^3/3!+\ldots,$

то

$$\begin{pmatrix}\gamma & -v\gamma \\ -v\gamma & \gamma \end{pmatrix} = \exp\begin{pmatrix}0 & -\mathrm{ \operatorname{arth}} v \\ -\mathrm{ \operatorname{arth}} v & 0 \end{pmatrix},$$

где $\mathrm{ \operatorname{arth}} v = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v},$
если только у меня не наврано. Выводится это через собственные значения матрицы преобразования Лоренца.

Примерно так.

$$a_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad a_y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad a_z = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ $$ b_x = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad b_y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad b_z = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad $$

Тогда $\exp(\theta(\vec{n},\vec{a}))$ - матрица гиперболического поворота, $\th \theta = V $, а $\vec{n}$ - единичный вектор направления скорости;
$\exp(\varphi(\vec{n},\vec{b}))$ - матрица пространственного поворота на $\varphi$ вокруг $\vec{n}$ - единичного вектора.

Экспоненты можно очень хорошо раскрыть, т.к. $(\vec{n},\vec{a})^3=(\vec{n},\vec{a})$, и $(\vec{n},\vec{b})^3=-(\vec{n},\vec{b})$
Получается $\exp(\theta(\vec{n},\vec{a}))=E+(\vec{n},\vec{a})\sh{\theta}+(\vec{n},\vec{a})^2 (\ch{\theta}-1)$
$\exp(\varphi(\vec{n},\vec{b}))=E+(\vec{n},\vec{b})\sin{\varphi}+(\vec{n},\vec{b})^2 (1-\cos{\varphi})$
(если нигде не наврал при подсчёте)

-- Чт ноя 06, 2014 01:10:25 --

Собственно, всё, ради чего я полез на форум за литературой, это 3 вопроса
0) Ну конечно хотелось одним глазком взглянуть, откуда вся эта красота берётся. Взглянул.
0.5) Хотелось бы убедиться в правильности последних двух формул.
1) Нашёл одну интересную страницу http://karataev.nm.ru/hiper/file5.html. По ихнему выходит, что такими экспонентами я посчитаю $x'=Ax$ (это явно написано).
Но полученные формулы (например для $\vec{n}=(1, 0, 0)$ это стандартное "школьное" преобразование Лоренца) прямо указывают на то, что это преобразование $x=Ax'$. Так всё-таки, "старые через новые" или "новые через старые" я получаю, считая этими экспонентами?
2) Как понять, в каком направлении осуществляется пространственный поворот?
3) Разве всегда можно обойтись этими двумя преобразованиями? Ведь иногда кроме пространственного поворота нужно ещё отразить относительного чего-то там?

Если кто-нибудь сможет прояснить, буду очень рад!

[Munin]

Legioner93 в сообщении #927226 писал(а):

Munin
Вашу книжку я не нашёл, к сожалению.

Да моей я вам и не рекомендовал :-) Которую из названных? Они все гуглятся по авторам.

Legioner93 в сообщении #927226 писал(а):

0.5) Хотелось бы убедиться в правильности последних двух формул.

Вроде, правильно. Достаточно их расписать в виде матриц для векторов поворотов и бустов, направленных по осям, и сравнить с тем, что везде написано.

Legioner93 в сообщении #927226 писал(а):

1) Нашёл одну интересную страницу http://karataev.nm.ru/hiper/file5.html . По ихнему выходит, что такими экспонентами я посчитаю $x'=Ax$ (это явно написано).
Но полученные формулы (например для $\vec{n}=(1, 0, 0)$ это стандартное "школьное" преобразование Лоренца) прямо указывают на то, что это преобразование $x=Ax'$. Так всё-таки, "старые через новые" или "новые через старые" я получаю, считая этими экспонентами?

Поскольку матрицы всё равно ортогональные, то это вопрос соглашения: что считать новыми, а что старыми. Особенно для поворота на угол: мы поворачиваем систему координат по часовой стрелке или против? Можно и так и так.

Для буста - обычно принимается соглашение, что $x'=B(v)x,$ с матрицей с положительной скоростью $\vec{v}=\vec{n}\th\theta,$ если $x$ стоит на месте, а $x'$ летит вперёд с этой скоростью, то есть преобразования Лоренца "с минусами". Но если брать экспоненту, то получатся матрицы "с плюсами". Значит, экспонента даёт преобразование $x=Ax'.$

Legioner93 в сообщении #927226 писал(а):

2) Как понять, в каком направлении осуществляется пространственный поворот? :roll:

Тут надо учитывать, что вообще между собой разные преобразования Лоренца некоммутативны. Допустим, мы раскладываем произвольное (собственное) преобразование на чистый буст и чистый поворот: $\Lambda=TB.$ Тогда взяв их в обратном порядке, мы получим другой результат: $BT\ne TB,$ и если $\Lambda=B'T',$ то $B'\ne B,T'\ne T.$ Так что, одному и тому же преобразованию Лоренца "соответствуют" несколько разных направлений пространственного поворота.

Legioner93 в сообщении #927226 писал(а):

3) Разве всегда можно обойтись этими двумя преобразованиями? Ведь иногда кроме пространственного поворота нужно ещё отразить относительного чего-то там?

Есть четыре разных группы Лоренца: собственная (без отражений, получаемая только непрерывно из единицы), и её произведения на дискретные множители: с пространственными отражениями, с отражением по времени, со всеми возможными отражениями. У них есть какие-то названия, которые редко нужны, и я их не помню. Соответственно, для собственной - можно, для других - нельзя.

Для таких вопросов - действительно, лучше всего
Гельфанд, Минлос, Шапиро (которую вы уже нашли)
Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски. Сборник задач по теории относительности и гравитации. (Там теоретические введения, и хорошие пояснения в решениях.)

-- 06.11.2014 01:49:00 --

Полезный факт: произвольное ортогональное преобразование можно представить себе как произведение двумерных поворотов в наборе взаимно-ортогональных плоскостей. Например, в 3-мерном пространстве невозможно двух ортогональных плоскостей (любые две плоскости имеют общее направление), и поэтому любое ортогональное преобразование - просто поворот - факт, известный из механики. В 4-мерном пространстве возможны две ортогональные плоскости, и углы поворота в них могут быть несоизмеримы - так что исчезает периодичность. В псевдоевклидовой метрике, соответственно, некоторые из поворотов будут псевдоевклидовыми.

В комплексном пространстве проще: любое унитарное преобразование можно представить в диагональном виде с элементами вида $e^{i\varphi}$ на диагонали.

[Legioner93]

Спасибо за подробный ответ!

Munin в сообщении #927261 писал(а):

Да моей я вам и не рекомендовал Которую из названных? Они все гуглятся по авторам.

Я говорил про ЛППТ, но потом всё-таки нашёл её, хоть и не без труда. Посмотрел, задачи изложены хорошо, но теорию по книге не понять, на мой взгляд. Матрицы Паули и вот это всё.

Munin в сообщении #927261 писал(а):

Поскольку матрицы всё равно ортогональные, то это вопрос соглашения: что считать новыми, а что старыми. Особенно для поворота на угол: мы поворачиваем систему координат по часовой стрелке или против? Можно и так и так.

Для буста - обычно принимается соглашение, что $x'=B(v)x,$ с матрицей с положительной скоростью $\vec{v}=\vec{n}\th\theta,$ если $x$ стоит на месте, а $x'$ летит вперёд с этой скоростью, то есть преобразования Лоренца "с минусами". Но если брать экспоненту, то получатся матрицы "с плюсами". Значит, экспонента даёт преобразование $x=Ax'.$

Ну значит тут ошибка http://karataev.nm.ru/hiper/file5.html, я так и думал.

Munin в сообщении #927261 писал(а):

Тут надо учитывать, что вообще между собой разные преобразования Лоренца некоммутативны. Допустим, мы раскладываем произвольное (собственное) преобразование на чистый буст и чистый поворот: $\Lambda=TB.$ Тогда взяв их в обратном порядке, мы получим другой результат: $BT\ne TB,$ и если $\Lambda=B'T',$ то $B'\ne B,T'\ne T.$ Так что, одному и тому же преобразованию Лоренца "соответствуют" несколько разных направлений пространственного поворота.

У меня даже одна задача на это есть, сделали-де два чистых буста один за другим, а там пространственный поворот ещё нарисовался, если смотреть на исходную $K$ из $K''$. Или я неправильно понял условие Пока никак руки не дойдут до этих всех задач, чтобы технологию эту применить как раз...

Про разные группы Лоренца конечно любопытно (что? всё это выросло из принципа равноправности ИСО?!)...

[Munin]

Legioner93 в сообщении #928355 писал(а):

Посмотрел, задачи изложены хорошо, но теорию по книге не понять, на мой взгляд.

Разумеется, это не должно быть единственным источником. Но теоретические введения там неплохие, чтобы сориентироваться, и в общем достаточные, чтобы решать задачи.

Legioner93 в сообщении #928355 писал(а):

У меня даже одна задача на это есть, сделали-де два чистых буста один за другим, а там пространственный поворот ещё нарисовался, если смотреть на исходную $K$ из $K''$. Или я неправильно понял условие :D

Да, в ЛППТ есть такая задача, и есть её решение.

Но это не то, о чём писал я.

Legioner93 в сообщении #928355 писал(а):

Про разные группы Лоренца конечно любопытно (что? всё это выросло из принципа равноправности ИСО?!)...

Нет, это выросло из обобщения евклидовой геометрии на разные знаки в теореме Пифагора.

С группами Лоренца ещё веселее начинается свистопляска, когда берут не саму эту группу, а её представления. Они образуют тензоры разных рангов. Кроме того, существуют двузначные представления - спиноры, тоже разных рангов. И у спиноров тоже замысловатые разновидности. Про это была тема на форуме topic61431.html , в которой я, к сожалению, далеко не всё ещё понял, но объяснений и ссылок накидали достаточно. Вам тоже может пригодиться.

[Legioner93]

Munin в сообщении #928387 писал(а):

Но это не то, о чём писал я.

Я понял, что не то же самое. Но всё же показалось, что факты из одной "области". Даже попытался вывести друг из друга "(не)коммутативность" и "перемножая бусты, мы получаем (не)только бусты", но не получилось.
Тему почитаю, спасибо.

[Munin]

Legioner93 в сообщении #928447 писал(а):

Даже попытался вывести друг из друга "(не)коммутативность" и "перемножая бусты, мы получаем (не)только бусты", но не получилось.

Тут нет выводимости друг из друга. Тут только $\Leftarrow,$ потому что некоммутативность ещё не означает, что нет подгруппы. И более того, такая подгруппа есть! Но она состоит не из чистых бустов, а из чистых поворотов: перемножая повороты, мы получаем только повороты. А вот дальше - увы, потому что группа не распадается в прямое произведение подгрупп.

[Castle_Bravo]

Про все вышеобсуждаемое достаточно годно и в то же время просто написано в книге(хотя скорее это методичка) Мусаев Э.Т. "теория представлений с самого начала", рекомендую.