Вопросы о дифференциале

[VanD]

g______d в сообщении #926930 писал(а):

Я не использовал координатной записи. Для задания функции достаточно сказать, какой точке $M$ какое число сопоставляется. После того, как мы задали функцию, можно проверить, что она является гладким отображением.

Это именно для функции, понимаете? Для отображений это всегда $y = f(x)$, но функция не частный случай отображения. Вы предлагаете считать что на образе при действии функций гладкая структура как бы есть, но ни в каком виде не используется - это размножение сущностей.

g______d в сообщении #926930 писал(а):

Что значит формально считать? Точки гладкого многообразия $\mathbb R$ — и есть числа. Просто по определению

А тут Вы пытаетесь отождествить поле и поле со структурой гладкого многообразия. Но на первом нет систем координат и вектор в точке на функции возвращает элемент поля. Если Вы захотите говорить о том, что он возвращает точку гладкого многообразия, то Вам предётся определять действие вектора на функцию (именно как оно осуществляется в различных координатах) ещё и при замене координат на этом самом гладком многообразии. Но зачем это надо? Зачем Вам системы координат на множестве-образе при действии функций? Вы же сами их не используете ни в каком виде. Даже в записи координатного представления функции.

[g______d]

VanD в сообщении #926932 писал(а):

но функция не частный случай отображения.

Разве?

[VanD]

Ладно, давайте так: зачем Вам фиксированная гладкая структура на образе при действии функции на гладком многообразии? Я просто не понимаю, зачем? У Вас из-за этого возникают сложности с доопределением действия касательного вектора на функцию в координатах (либо замены систем координат на этом $\mathbb R$-образе надо запретить). Вы можете сказать, что она там просто есть - естественная, не зависимо от наших желаний, но это будет означать, что для Вас поле действительных чисел и многообразие $\mathbb R$ вообще ни в каком виде никогда не различимы. Ведь как только мы заговорили о поле, там есть естественные топология и гладкая структура. Не думаю, что такой подход является классическим.

[g______d]

VanD в сообщении #926935 писал(а):

У Вас из-за этого возникают сложности с доопределением действия касательного вектора на функцию в координатах

Не возникают. Коль скоро я научился выписывать это действие в одной системе координат, я могу выписать в любой другой, взяв $g\circ v(\cdot)\circ g^{-1}$. А то, что будет инвариантная формула типа тензорного закона, никто и не обещал; в определении векторного поля обещалась только тензорность по заменам координат на $M$.

VanD в сообщении #926935 писал(а):

Вы можете сказать, что она там просто есть - естественная, не зависимо от наших желаний, но это будет означать, что для Вас поле действительных чисел и многообразие $\mathbb R$ вообще ни в каком виде никогда не различимы. Ведь как только мы заговорили о поле, там есть естественные топология и гладкая структура. Не думаю, что такой подход является классическим.

Если бы Вы говорили только о поле, я бы особо не спорил. Но Вы в формальных определениях пользуетесь вовсю топологией на $\mathbb R$ и структурой банахова пространства (когда даёте определение непрерывной и гладкой функции), а потом говорите, что это мелочи и детали и в них не надо углубляться.

Т. е. вместо того, чтобы признать, что структура есть, и пользоваться ей, Вы предлагаете зачем-то два варианта, один со структурой, второй без структуры, и в том, которых без структуры, всё равно неявно пользуетесь этой структурой.

[VanD]

Да собственно, мне кажется, что именно так и делается везде в литературе. Я думаю, что это не мой каприз, что так просто принято.

g______d в сообщении #926941 писал(а):

Не возникают. Коль скоро я научился выписывать это действие в одной системе координат, я могу выписать в любой другой, взяв $g\circ v(\cdot)\circ g^{-1}$. А то, что будет инвариантная формула типа тензорного закона, никто и не обещал; в определении векторного поля обещалась только тензорность по заменам координат на $M$.

Уж в учебниках-то должно было быть упоминание о таком, но я нигде никогда не видел такого. Это осложнение, от которого нет ну соовсем никакого выигрыша, так зачем оно?

Мне казалось, что идеология такая: всё вышло из воды, как говорится, то есть изначально все понятия подстраивались именно под то, чтобы быть обобщениями уже введённых на тот момент для поля $\mathbb R$ и ни в коем случае не противоречить им. Потом стали говорить о новых понятиях, но именно для поля $\mathbb R$ всё определять по-старому, так как такой подход просто естественнее при изучении, он породил и остальные в некотором смысле. И топологию подстраивали под сходимость, а не наоборот - исторически. И в литературе нигде не оговаривают того, о чём Вы говорите, хотя в учебниках тогда уж должны были бы. И понятия функции и отображения авторы зачем-то различают - это Вас не смущает?

Ну а что с гладкой стркутурой-то? Она зачем на образе при определении гладкой функции? Вы же сами её координатную запись выписываете не так, как у отображений, а по-особому: $f(x)$?

[VanD]

Ладно, я готов на самом деле согласиться с Вами, что отличать понятие гладкой функции нет особого смысла, можно считать, что на образе задана гладкая структура просто из-за того, что там задан 1 атлас из 1 карты и он формально её порождает, но это не обязывает рассматривать отдельно что-либо связанное с заменами координат на образе. Тогда проблема доопределения не возникает.
А авторы, наверно, так делают в методических целях. Спасибо за диалог.

[g______d]

Вам тоже спасибо. Я все-таки уточню по поводу Вашего предыдущего сообщения:

VanD в сообщении #926997 писал(а):

Вы же сами её координатную запись выписываете не так, как у отображений, а по-особому: $f(x)$?

$f(x)$ — это не (точнее, не только) координатная запись. Если есть отображение из $M$ в $N$, и я каким-то образом указал, какая точка $M$ переходит в какую точку $N$, то я тоже задал отображение. Например, если я не написал координату точки на $N$, а показал пальцем на саму точку.

Ну так вот, в записи $f(x)$ это выражение $f(x)$ — не координата точки на образе, а сама точка образа. Точками образа являются вещественные числа. Это не запрещается; точками многообразия как множества могут быть объекты любой природы.

Т. е. можно $f(x)$ считать и координатной записью тоже, поскольку точка $\mathbb R$ является своей собственной координатой. Но я имел в виду именно прямое указание точки.