Вопросы о дифференциале

[g______d]

VanD в сообщении #926427 писал(а):

Фомрально, это определение совпадёт с определением непрерывности, если считать, что на множестве $\mathbb R$ фиксирована стандартная топология, но это не значит, что мы в действительности считаем $\mathbb R$-образ топологическим пространством.

Это довольно туманный аргумент. Если наше определение непрерывной функции по сути использует метрику на $\mathbb R$, то это и означает, что оно испольует стандартную топологию на $\mathbb R$. Если бы оно не использовало топологию и это не-использование имело бы какой-то смысл, то можно было бы задать на $\mathbb R$ какую-то другую топологию, относительно которой всё было бы так же. В действительности же, существует ровно одна топология на $\mathbb R$, относительно которой гладкие функции будут непрерывны. Более того, существует ровно одна гладкая структура на $\mathbb R$, относительно которой гладкие функции на $M$ будут гладкими отображениями в $\mathbb R$. Поэтому нет никакой причины не считать, что эти топология и гладкая структура заданы.

VanD в сообщении #926427 писал(а):

Да и просто подход, состоящий в том что ковектор на векторе возвращает не число, а геометрическую точку, довольно странный и необоснованный.

Он возвращает, разумеется, числа. Но на множестве чисел есть естественная топология и гладкая структура, относительно которой числа являются, как Вы говорите, геометрическими точками. Поэтому не вижу никаких проблем.

Кроме того, если бы действие вектора на ковекторе было бы только числом и ничем больше, то Вам не составило бы труда заменить $\mathbb R$ на $\mathbb Q$ или на какое-то другое поле.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В целом, возможно, я начинаю понимать, что Вы имели в виду. Вы хотите различать аффинную прямую над $\mathbb R$ и само поле $\mathbb R$. В частности, функция $x^i$ из координатной карты является отображением именно в аффинное $\mathbb R$, поскольку структура линейного пространства $\mathbb R^m$ там не испольуется.

А действие векторного поля на ковекторное поле -- это отображением из $M$ в поле $\mathbb R$, поскольку по смыслу это линейная операция.

Но любое линейное пространство имеет каноническую аффинную структуру, надо просто забыть про ноль. Поэтому все гладкие функции из $M$ в $\mathbb R$ автоматически являются гладкими отображениями из $M$ в гладкое многообразие $\mathbb R$ (топология и гладкая структура на последнем определяются однозначно). Не вижу никакого смысла демонстративно про это забывать и не знаю ни одного учебника, в котором это делается.

С учётом этого, внешний дифференциал функции -- это в точности дифференциал гладкого отображения в $\mathbb R$, ассоциированного с этой функцией.

[VanD]

g______d в сообщении #926710 писал(а):

Это довольно туманный аргумент.

Я так понимаю что то, что мы вообще говорим о стандартной топологии на $\mathbb R$ - это следствие, а не причина изначального формального определения. Стандартная топология та, в которой определение непрерывного отображения в $\mathbb R$ совпадает с понятием непрерывной функции, уже имеющимся на тот момент.

g______d в сообщении #926710 писал(а):

Поэтому нет никакой причины не считать, что эти топология и гладкая структура заданы.

Причина именно в том, что формально получается, что гладкая структура на образе есть, но координат заменять нельзя. Это аргумент в пользу ненужности гладкой структуры. Появляются дополнительные трудности. Кольцо гладких функций теперь нельзя формально считать подкольцом просто функций на многообразии, иначе придётся считать, что все функции сопостовляют точке точку.

g______d в сообщении #926710 писал(а):

Поэтому все гладкие функции из $M$ в $\mathbb R$ автоматически являются гладкими отображениями из $M$ в гладкое многообразие $\mathbb R$

Их, конечно, можно отождествлять при Вашем подходе, но тогда с оговорками. Вы просто построили взаимнооднозначное естественное соответствие между функциями и отображениями в $\mathbb R$ со стандартными топологией и гладкой структурой, ничего странного в этом нет.

g______d в сообщении #926710 писал(а):

Не вижу никакого смысла демонстративно про это забывать и не знаю ни одного учебника, в котором это делается.

Смысл демонстративно про это "забывать" в том, что такой подход естественен и нет необходимости в постоянных оговорках. По поводу того, где так делается - по-моему так везде и подразумевается в силу последовательности изложения, но внимание нигде отдельно на этом не заостряется.

g______d в сообщении #926710 писал(а):

если бы действие вектора на ковекторе было бы только числом и ничем больше, то Вам не составило бы труда заменить $\mathbb R$ на $\mathbb Q$ или на какое-то другое поле

Это определение подстраивается под определение гладкой функции, она отображает в поле $\mathbb R$, значит, и они отображают в поле $\mathbb R$. Попытка определить гладкую функцию с образами в $\mathbb Q$, вообще говоря, наткнулась бы на невыполнение аксиомы непрерывности на $\mathbb Q$. Получалось бы, что производная такой функции (в фиксированной карте) была бы функцией всё-таки в $\mathbb R$, а не в $\mathbb Q$.

В конечном итоге, я сам задался этим вопросом именно когда разбирался с понятием касательного вектора, как дифференцирования. С ним возникают проблемы именно при попытке заменить координаты на образе. Собственно, это всё, что меня не устраивает при Вашем подходе. Ну и формально, как тогда обзывать отображение многообразия $M$ в $\mathbb R$ - поле, на котором нет фиксированной топологии и гладкой структуры, но формально выполняются определения непрерывной и гладкой функции, о которых я говорил выше. Вы предлагаете просто не различать такие отображения и отображения в $\mathbb R$ со стандартными топологией и гладкой структурой - это я понял. Так можно, если после определения понятия гладкого многообразия, но до понятия функции на многообразии, всегда отдельно рассматривать многообразие $\mathbb R$ и оговаривать момент, что везде считается, что координаты на образе заменять нельзя, но такой подход не кажется мне естественным.

Думаю, мы оба поняли друг друга, дальнейшее обсуждение сводится на самом деле к тому, чтобы выяснить, что имеется в виду под гладкой функцией на многообразии у классиков, но я ещё не встречал книги, где именно этот вопрос поднимался бы, к сожалению.

Upd

Хотя в литературе зачастую понятия гладкой функции и гладкого отображения вводятся не разом, а по очереди. Например, в "Новиков, Тайманов Современные геометрические структуры и поля". Да и вообще, я не припомню источника, где они не вводились бы по отдельности, везде при последовательном изложении это считается само сабой разумеющимся, что читатель ещё понимает под $\mathbb R$ поле, так как отдельно внимания на том, что $\mathbb R$ теперь многообразие со стандартными топологией и гладкой структурой, не акцентируется ни в одном просмотренном мной источнике.

[g______d]

VanD в сообщении #926759 писал(а):

Я так понимаю что то, что мы вообще говорим о стандартной топологии на $\mathbb R$ - это следствие, а не причина изначального формального определения. Стандартная топология та, в которой определение непрерывного отображения в $\mathbb R$ совпадает с понятием непрерывной функции, уже имеющимся на тот момент.

Вы хотите сказать, что стандартная топология на $\mathbb R$ вводится позже понятия непрерывной функции? На самом деле до, просто студентам не произносят слова "топология". Вообще о стандартной топологии на $\mathbb R$ говорят уже в момент определения предела последовательности. И безразлично, называют это в тот момент топологией, или нет.

VanD в сообщении #926759 писал(а):

Причина именно в том, что формально получается, что гладкая структура на образе есть, но координат заменять нельзя.

Координаты на $\mathbb R$ заменять очень даже можно. И как замены координат действуют на гладкие функции, всем известно (композиция). Другое дело, что замена координат на образе, в отличие от замены координат на прообразе, не является гомоморфизмом колец функций. Ну и никто не обещал.

VanD в сообщении #926759 писал(а):

Это аргумент в пользу ненужности гладкой структуры. Появляются дополнительные трудности. Кольцо гладких функций теперь нельзя формально считать подкольцом просто функций на многообразии, иначе придётся считать, что все функции сопостовляют точке точку.

Вы можете сформулировать это формально? Я пока вижу проблему только в том, что Вы отказываетесь видеть на $\mathbb R$ одновременно структуры кольца и гладкого многообразия, а они обе там есть, и вполне канонически.

VanD в сообщении #926759 писал(а):

Их, конечно, можно отождествлять при Вашем подходе, но тогда с оговорками. Вы просто построили взаимнооднозначное естественное соответствие между функциями и отображениями в $\mathbb R$ со стандартными топологией и гладкой структурой, ничего странного в этом нет.

На теоретико-множественном уровне функция из $M$ в $\mathbb R$ и отображение из $M$ в $\mathbb R$ -- это просто одно и то же. Не естественное взаимно однозначное соответствие, а именно одно и то же. Если случайно оказалось, что теоретико-множественное отображение сохраняет гладкую структуру (является гладким), то оно просто является гладким отображением, и все. Даже если мы изначально считали его функцией. Не вижу тут необходимости каких-либо оговорок.

VanD в сообщении #926759 писал(а):

В конечном итоге, я сам задался этим вопросом именно когда разбирался с понятием касательного вектора, как дифференцирования. С ним возникают проблемы именно при попытке заменить координаты на образе. Собственно, это всё, что меня не устраивает при Вашем подходе.

А можете эти проблемы пояснить более подробно? Может быть, проблем на самом деле нет?

VanD в сообщении #926759 писал(а):

Ну и формально, как тогда обзывать отображение многообразия $M$ в $\mathbb R$ - поле, на котором нет фиксированной топологии и гладкой структуры, но формально выполняются определения непрерывной и гладкой функции, о которых я говорил выше. Вы предлагаете просто не различать такие отображения и отображения в $\mathbb R$ со стандартными топологией и гладкой структурой - это я понял. Так можно, если после определения понятия гладкого многообразия, но до понятия функции на многообразии, всегда отдельно рассматривать многообразие $\mathbb R$ и оговаривать момент, что везде считается, что координаты на образе заменять нельзя, но такой подход не кажется мне естественным.

Я предлагаю (собственно, не я; мне казалось, что это общепринятый подход) и то, и другое, рассматривать как теоретико-множественное отображение из множества $M$ в множество $\mathbb R$. А дальше уже смотреть, какие структуры это отображение уважает, и в зависимости от этого называть его гладким, непрерывным, измеримым, и т. п. И не различать функции и отображения в $\mathbb R$, потому что с точки зрения теории множеств между ними нет вообще никакой разницы.

В принципе (но это уже оффтоп), есть более абстрактный подход к этим вопросам, в котором изначально работают с пучками гладких функций. Он описан в книге Ramanan, Global Calculus. Кроме того, пользуясь тем, что пучок гладких функций мягкий, можно все определения дать в терминах кольца $C^{\infty}(M)$ (т. е. кольца глобальных сечений этого пучка), это, видимо, книжка Джет Неструев, "Гладкие многообразия и наблюдаемые".

[VanD]

g______d в сообщении #926878 писал(а):

А можете эти проблемы пояснить более подробно? Может быть, проблем на самом деле нет?

Давайте будем рассуждать по-Вашему. Определим гладкую функцию-отображение, пусть на многообразии-прообразе $\mathbb R$: $y = f(x)$ и рассмотрим касательный вектор $\frac{\partial }{\partial x}$. Подействуем им на функцию: по Вашему, видимо, это должна быть функция $y = \frac{\partial f}{\partial x}$ - надо же рассматривать её координатную запись в системах координат на прообразе и образе, а не просто её координатную запись $\frac{\partial f}{\partial x}$, к кому как не к $y$ её "приравнять"? Теперь заменим координаты на образе: $y^1 = g(y)$ и запишем функцию в новых координатах (новые только на образе). Это, видимо, будет $y^1 = g(f(x))$. Координат на прообразе мы не меняли, значит, $\frac{\partial }{\partial x}$ не должен был преобразоваться (иначе здесь расхождение с общей теорией гладких отображений, ведь наша функция тоже отображение). Но как ему теперь действовать на ту же, казалось бы, функцию. Мы боролись за возможность на образе заменять координаты, но что с этим делать. Его действие либо придётся определять, считая, что карта на образе фиксирована раз и навсегда, либо можно подействовать на координатную запись в новых координатах, то есть на $y^1 = g(f(x))$. Понятно, что ничего хорошего из последнего не выйдет: при последнем подходе придётся записать то ли $y^1 = \frac{\partial g(f(x))}{\partial x}$, то ли $y = \frac{\partial g(f(x))}{\partial x}$, но в обоих случаях это будет уже не та $y = \frac{\partial f}{\partial x}$ (обратно заменив координату на образе, мы не попадём в обоих случаях в $y = \frac{\partial f}{\partial x}$). Выходит, что на образе координат менять нельзя, иначе при определении действия вектора на функцию придётся оговариваться, что надо переходить в стандартные координаты и делать всё исключительно в них.

g______d в сообщении #926878 писал(а):

На теоретико-множественном уровне функция из $M$ в $\mathbb R$ и отображение из $M$ в $\mathbb R$ -- это просто одно и то же

На теоретико-множественном уровне в момент определения понятий отображение/функция рассматривается подмножество декартова произведения двух множеств, без каких либо дополнительных структур.

Собственно, смущающий меня момент я привёл в явном виде. Если объясните, как его преодолеть и остаться в рамках общепринятых остальных понятий, то я не против согласиться с Вами.

[g______d]

VanD в сообщении #926897 писал(а):

Координат на прообразе мы не меняли, значит, $\frac{\partial }{\partial x}$ не должен был преобразоваться.

Кстати, а почему? Векторное поле — это отображение из алгебры функций в алгебру функций. Если в разных координатах на образе функция записывается по-разному, то почему действие этого отображения на функции должно преобразовываться? Т. е. придется делать что-нибудь типа

$$ g\circ \frac{\partial f}{\partial x}\circ g^{-1}. $$

Я не вижу причин, почему для этого должна быть более хорошая формула. Определение векторного поля изначально предполагает согласованность со структурой алгебры на гладких функциях, и если замена координат на образе эту структуру не сохраняет, то неудивительно, что формула для действия векторного поля портится. Вы хотите действие $\frac{\partial }{\partial x}$ вынести за композицию с $g$, но для этого надо, чтобы композиция с $g$ и действие векторного поля коммутировали, чего нет. Этого нет и для более простых операций: например, перемножение двух функций и взятие синуса от функции не перестановочны с заменой координат на образе.

----------------------------------------------------

Если говорить о том, что в определении гладкого векторного поля как линейного отображения $v\colon C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$, удовлетворяющего $v(fg)=f v(g)+g v(f)$, явно не используется гладкая структура на $\mathbb R$, то это ближе к правде. Это чисто алгебраический объект. Но вся топологическая информация восстанавливается по кольцу $C^{\infty}(M)$, точно так же, как по кольцу непрерывных функций на компакте можно восстановить компакт и топологию на нем (представление Гельфанда).

[VanD]

g______d в сообщении #926901 писал(а):

Кстати, а почему?

Иначе это определение касательного вектора не совпадёт с остальными двумя: преобразуется по тензорному закону и класс эквивалентности гладких кривых, чего допустить нельзя.

[g______d]

VanD в сообщении #926906 писал(а):

Иначе это определение касательного вектора не совпадёт с остальными двумя: преобразуется по тензорному закону и класс эквивалентности гладких кривых, чего допустить нельзя.

Все эти определения предполагают, что на образе никаких замен координат не происходит. Из чего не следует, что если мы произведем замену координат на образе, то ничего не произойдет.

-- Вт, 04 ноя 2014 17:21:17 --

Точнее, так. Эти определения используют некоторую структуру на образе (структуру кольца), дополнительно к структуре многообразия. Из этого не следует, что они не могут быть отображением многообразий.

Пример: гомоморфизм групп Ли — это гладкое отображение, являющееся гомоморфизмом групп. Не придет же Вам в голову сказать, что гомоморфизм групп Ли не является гладким отображением многообразий.

[VanD]

Определение касательного вектора никак не аппелирует к какому либо отображению/функции, тем более к образу - это элемент внутренней геометрии одного многообразия.

Про гомоморфизм групп Ли не понял, причём тут это. Там всё строго. Понятие группы Ли в явном виде указывает на то, что она - гладкое многообразие. Понятие гомоморфизм групп Ли в явном виде указывает на то, что он должен при этом быть гладким отображением групп Ли, как многообразий.

[g______d]

VanD в сообщении #926910 писал(а):

Определение касательного вектора никак не аппелирует к какому либо отображению/функции, тем более к образу - это элемент внутренней геометрии одного многообразия.

В том же смысле, в котором кольцо $C^{\infty}(M)$ является элементом внутренней геометрии этого многообразия (поскольку однозначно ей определяется).

[VanD]

Так или иначе, никогда не видел, чтобы при определении касательного вектора оговаривалось, что предполагается, что на образах система координат фиксирована.

При формальном рассмотрении приведённого выше смущающего примера функции-отображения касательный вектор в классическом смысле $\frac {\partial}{\partial x}$ не должен был поменять свою координатную запись, так как мы рассматриваем отображение. Иначе получается, что есть 2 типа отображений, оба в гладкое многообразие $\mathbb R$. Но одно из них такое, что координатное представление $\frac {\partial}{\partial x}$ в этой ситуации преобразуется (если я правильно Вас понял), а второе - как обычное отображение в любое другое многообразие, при нём касательный вектор на прообразе никак не отзывается на замену координат на образе - это самое что ни на есть классическое понимание.

Либо, если мы считаем, что он не менял координатной записи, то действие его на функции надо переопределить, добавив, например, что на образе система координат фиксирована, но тогда зачем там гладкая структура как таковая? Я просто не понимаю, какой цели она там в принципе служит, зачем полагать её фиксированной там? Или, может, проще считать, что там просто нет гладкой структуры? Координатная запись функций тогда записывается в одной карте, а не в двух: $f(x)$ вместо $y = f(x)$. Проблем-то не возникает при этом. Да и в литературе всегда понятие гладкой функции на многообразии и отображения многообразий разделяют.

[g______d]

VanD в сообщении #926915 писал(а):

Так или иначе, никогда не видел, чтобы при определении касательного вектора оговаривалось, что предполагается, что на образах система координат фиксирована.

Касательный вектор в точке $x\in M$ — это линейное отображение $v\colon C^\infty(M)\to \mathbb R$, такое что $v(fg)=f(x)v(g)+g(x)v(f)$. Самое что ни на есть классическое определение. Есть еще классическое определение векторного поля, см. выше. Какие именно проблемы возникают с этим определением и где в нем что-то говорится про замену координат на образе?

[VanD]

Проблема, очевидно, с определением его действия на функции. Везде, где я видел, полагалось, что результат действия $\frac {\partial}{\partial x}$ на $f(x)$ в координатах $x$ есть $\frac {\partial f}{\partial x}$. В Вашем подходе придётся оговариваться, что результат действия $\frac {\partial}{\partial x}$ на теперь уже $y = f(x)$ есть $y = \frac {\partial f}{\partial x}$ и координату $y$ на образе заменять нельзя - вот этого уточнения я нигде не видел. Как Вы само действие-то $\frac {\partial}{\partial x}$ на функции определяете? Либо придётся ещё определить, как заменяется действие в координатах, при заменах координат на образе при функции-отображении. Всё это размножение сущностей, оно здесь избыточно. Без него обходиться можно, более того, без него всё естественнее и проще, и я всё же думаю, что именно так даётся в классической литературе, хотя там явно это не оговаривается. Просто из соображений, что изложение должно быть последовательным, а нигде не говорится, что теперь под словом "функция" мы будем понимать не то, что раньше, а что на образе есть ещё и гладкая структура. Или именно под понятием "гладкая функция" будем понимать отображение в гладкое многообразие. Тогда это не частный случай понятия "функция".

Я вот чего не пойму, чем Вас не устраивает рассуждение о том, что если на образе при функции-отображении нельзя менять координат, чтобы классическая теория не поехала, то там не нужно и иметь систем координат в принципе? Фактически мы везде при работе с касательными векторами и считаем, что её там нет. Вы предлагаете говорить, что она там всё же есть, только она там не для чего, а просто чтоб была.

[g______d]

VanD в сообщении #926922 писал(а):

В Вашем подходе придётся оговариваться, что результат действия $\frac {\partial}{\partial x}$ на теперь уже $y = f(x)$ есть $y = \frac {\partial f}{\partial x}$ и координату $y$ на образе заменять нельзя - вот этого уточнения я нигде не видел.

Откуда в "моем подходе" возникает какое-то $y$? И, опять же, где в этом подходе что-то про замену координаты $y$? И что означает слово "нельзя" в формальном определении, которое я дал?

VanD в сообщении #926922 писал(а):

Либо придётся ещё определить, как заменяется действие в координатах, при заменах координат на образе при функции-отображении.

Не придется. Как только Вы указали, какое число какой функции сопоставляется, касательный вектор задан.

VanD в сообщении #926922 писал(а):

Всё это размножение сущностей, оно здесь избыточно.

Наоборот, размножением сущностей являются разговоры про то, что непрерывная функция из $M$ в $\mathbb R$ не является непрерывным отображением из $M$ в $\mathbb R$. Очень даже является, просто по формальному определению.

-- Вт, 04 ноя 2014 18:30:52 --

VanD в сообщении #926922 писал(а):

Или именно под понятием "гладкая функция" будем понимать отображение в гладкое многообразие. Тогда это не частный случай понятия "функция".

Под (вещественнозначной) функцией обычно понимается отображение в $\mathbb R$. Под гладкой функцией — гладкое отображение в $\mathbb R$. Поскольку на $\mathbb R$ есть стандартная гладкая структура, любая гладкая функция на $M$ является отображением гладких многообразий. Другими словами, гладкая функция является частным случаем гладкого отображения.

[VanD]

g______d в сообщении #926925 писал(а):

Откуда в "моем подходе" возникает какое-то $y$

Вы утверждаете, что на образе есть гладкая структура, значит координатная запись функции-отображения должна использовать обе системы координат (это класическое понимание для отображений).

g______d в сообщении #926925 писал(а):

Не придется. Как только Вы указали, какое число какой функции сопоставляется, касательный вектор задан.

Вы же говорите, что сопоставляется не число, а точка, то есть, что формально его можно считать точкой и проблем не возникает - я привёл пример, когда они возникают и если результат действия вектора на функцию всё ещё функция в Вашем понимании, значит Вы считаете, что вектор на функции возвращает точку, тогда действие надо определять во всех системах координат на многообразии этих самых точек-чисел.

[g______d]

VanD в сообщении #926927 писал(а):

Вы утверждаете, что на образе есть гладкая структура, значит координатная запись функции-отображения должна использовать обе системы координат (это класическое понимание).

Я не использовал координатной записи. Для задания функции достаточно сказать, какой точке $M$ какое число сопоставляется. После того, как мы задали функцию, можно проверить, что она является гладким отображением.

VanD в сообщении #926927 писал(а):

Вы же говорите, что сопоставляется не число, а точка, то есть, что формально его можно считать точкой

Что значит формально считать? Точки гладкого многообразия $\mathbb R$ — и есть числа. Просто по определению.