Парадокс близнецов для случая конечной стабильной Вселенной

[мат-ламер]

Помогите разобраться со следующим парадоксом. Предположим, что Вселенная имеет постоянные конечные размеры (т.е. не расширяется). Допустим у нас есть два близнеца на двух ракетах. В какой-то момент времени они начали удаляться друг от друга (в начальный момент времени обе ракеты в одной точке). Какая ракета движется, а какая остаётся на месте, я не знаю. Для определённости, в начале предположим, что первая ракета покоится. Вторая ракета со субсветовой скоростью облетит всю Вселенную и подлетит к первой с противоположной стороны. Понятно, что близнец в движущейся ракете постареет меньше, чем в покоящейся. Но мы могли вначале предположить, что первая ракета движется, а вторая покоится (в силу принципа относительности). Тогда получится, что близнец в первой ракете будет более молодым при встрече. Итого получается парадокс.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #926629 писал(а):

Предположим, что Вселенная имеет постоянные конечные размеры (т.е. не расширяется).

В такой Вселенной нет глобального принципа относительности, так что

мат-ламер в сообщении #926629 писал(а):

Какая ракета движется, а какая остаётся на месте, я не знаю.

вы-то, может, и не знаете, а Вселенная - "знает".

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #926629 писал(а):

Итого получается парадокс.

Нет, не получается. При каком условии на Вселенную двигавшийся близнец сможет ее облететь и подлетит к первому с противоположной стороны?

[Утундрий]

На что только не пойдёт человек, лишь бы избежать честного труда. Действительно, проделать пару арифметических действий (ну ладно, и одно алгебраическое) это так сложно! Уж лучше мы будем попусту языком чесать как целая сенатская подкомиссия, переливая из пустого в порожнее.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #926645 писал(а):

В такой Вселенной нет глобального принципа относительности,

А в каких вселенных он есть? А в каких нет?

-- Вт ноя 04, 2014 22:17:33 --

Pphantom в сообщении #926653 писал(а):

При каком условии на Вселенную двигавшийся близнец сможет ее облететь и подлетит к первому с противоположной стороны?

Во-первых я предположил, что Вселенная имеет постоянные конечные размеры. Насчёт топологического строения я понятий не имею. Может подойдёт трёхмерный тор.

-- Вт ноя 04, 2014 22:19:36 --

Для случая тора - Вселенная плоская (если это важно).

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #926666 писал(а):

я предположил, что Вселенная имеет постоянные конечные размеры

Этого мало!

мат-ламер в сообщении #926666 писал(а):

подойдёт трёхмерный тор.

мат-ламер в сообщении #926666 писал(а):

Для случая тора - Вселенная плоская (если это важно).

А вот это ближе к делу.

Итак, тор, значит. Хорошо. Реализуем наше пространство-время следующим образом

$${\mathbf{r}} = \left\{ {x^0 ,\cos x^1 ,\sin x^1 ,\cos x^2 ,\sin x^2 ,\cos x^3 ,\sin x^3 } \right\} \in \mathbb{E}^{1,6} $$

Тогда интервал есть

$$ds^2 = \left( {dx^0 } \right)^2 - \left( {dx^1 } \right)^2 - \left( {dx^2 } \right)^2 - \left( {dx^3 } \right)^2 $$

а интересующие нас мировые линии суть

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^0 = \alpha } \hfill \\ {x^1 = 0} \hfill \\ {x^2 = 0} \hfill \\ {x^3 = 0} \hfill \\ \end{array} } \right. \] $$

и

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^0 = \beta \operatorname{ch} \psi } \hfill \\ {x^1 = \beta \operatorname{sh} \psi } \hfill \\ {x^2 = 0} \hfill \\ {x^3 = 0} \hfill \\ \end{array} } \right. \] $$

С пересечением и вычислением сами справитесь?

[Nemiroff]

мат-ламер в сообщении #926629 писал(а):

Итого получается парадокс.

Исходите из обратного: парадокса не будет, потому что показания часов близнецов будут одинаковыми, а значит они смогут понять, как они двигались, а значит выяснить, кто из них летал и с какой скоростью, а значит в топку глобальную относительность.

[IGOR1]

мат-ламер писал(а):

Итого получается парадокс.

Согласен с вами - похоже вы нашли ошибку в СТО. Но тут есть следующая проблема - когда ракета переходит из состояния покоя в состояние движения будет некоторая перегрузка и близнец определит какая ракета движется - т.е.неопределенности не будет

[Munin]

мат-ламер в сообщении #926666 писал(а):

А в каких вселенных он есть? А в каких нет?

Он есть во Вселенных, в которых есть соответствующая симметрия (вектор Киллинга). Из общераспространённых космологических моделей (Робертсон-Уокер с разнообразными "наполнителями") - только в Де Ситтере. Ну и разумеется, анти-Де Ситтер тоже.

-- 04.11.2014 22:57:20 --

IGOR1 в сообщении #926736 писал(а):

Согласен с вами - похоже вы нашли ошибку в СТО.

СТО просто не действует в предложенной Вселенной (глобально). Можно выдумать много вещей, не соответствующих известным законам природы - это не будет нахождением ошибок в этих законах.

[Утундрий]

IGOR1 в сообщении #926736 писал(а):

Согласен с вами - похоже вы нашли ошибку в СТО.

Ещё один, не владеющий арифметикой. А бахвалился-то, инженер, мол...

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Утундрий]

На всякий случай, мат-ламер, замечу - увиливать вам от моего вопроса несолидно. Мало того, что мне ответ известен, так ещё как минимум пару (заслуженных) физиономий оный ужо получили. И ежели вы вышеупомянутого не предъявите, то разразится нешутошный эль скандаль.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #926758 писал(а):

то разразится нешутошный эль скандаль

Ябы былбы только рад, но вот как это реализовать на практике?
Или я быбылбы?..

[мат-ламер]

Munin в сообщении #926645 писал(а):

В такой Вселенной нет глобального принципа относительности,

Не подскажете, где можно прочитать про этот принцип? Я посмотрел Вайнберга, Мизнера с товарищами, ЛЛ-2. Нигде не нашёл. Тем более Nemiroff тоже про этот принцип вспоминает.

-- Ср ноя 05, 2014 23:17:34 --

IGOR1 в сообщении #926736 писал(а):

Но тут есть следующая проблема - когда ракета переходит из состояния покоя в состояние движения будет некоторая перегрузка и близнец определит какая ракета движется - т.е.неопределенности не будет

Там всё посложнее. Оказывается близнецы живут уж очень давно и никто не знает, когда они родились. А ракета одного летает мимо ракеты другого по кругу через всю Вселенную. Когда ракеты встречаются, близнецы синхронизируют свои часы.

-- Ср ноя 05, 2014 23:18:18 --

Утундрий в сообщении #926758 писал(а):

ежели вы вышеупомянутого не предъявите, то разразится нешутошный эль скандаль.

Начинайте. С удовольствием присоединюсь.

[Cos(x-pi/2)]

мат-ламер
Не горячитесь, а попробуйте всё-таки ещё чуток не сдаваться. Обратите внимание на уравнения мировых линий, которые выше привёл Утундрий : в них координаты с номерами 2 и 3 это константы, равные нулю.

Это значит, что фактически-то речь идёт о движении двух наблюдателей в 1-мерном пространстве. В вашем примере его можно представить как окружность какого-то радиуса $R$, нарисованную на евклидовой плоскости. Один наблюдатель покоится в какой-то точке окружности, а другой летает по окружности с постоянной скоростью, наматывая оборот за оборотом.

(Утундрий погрузил ваш 3-тор в 6-мерное евклидово пространство (плюс 1-время), но заданные им две конкретные мировые линии лежат только в 1-мерном подпространстве плюс 1-время; кстати, в формулах Утундрия аргументами синусов и косинусов являются угловые безразмерные координаты, поэтому перед синусами и косинусами не худо бы сначала явно выписать множитель $R$ c размерностью длины, хотя он и исчезает потом, включившись в иксы).

Значит, можно просто взять листок бумаги из тетрадки в клеточку. И нарисовать на нём обычным образом мировые линии обоих наблюдателей (а также можно нарисовать ортогональные к ним их пространственные оси "икс" и "икс со штрихом" - так, как полагается в геометрии Минковского). И свернуть листок в трубочку - в цилиндр - радиусом $R$. Вдоль образующей цилиндра идёт временнАя координата неподвижного наблюдателя $x^0$. Ну, а уж далее легко сообразите, где возникли точки "пересечения" мировых линий наблюдателей, и влияет ли свёртывание тетрадного листка в цилиндр на обычное вычисление собственных времён наблюдателей на этом листке (формулу интервала уже подсказал сам Утундрий, и она имеет вполне узнаваемый вид).

-- 05.11.2014, 23:36 --

Утундрий
Извините, что я встрял (может, и не по делу; может и сам ошибаюсь)... но товарищ-то вроде помощи запросил по данному вопросу, "скандаль"-то вроде и не обязательно