Сумма комплексных экспонент как АР процесс

[Fft]

Здравствуйте!
Изучаю современные методы спектрального оценивания. У Марпла и прочих авторов отмечается, что сумма комплексных экспонент хорошо моделируется авторегрессионной (АР) моделью. Попытался вывести аналитически АР коэффициенты для «чистых» комплексных экспонент без шума. Для одной комплексной экспоненты $s(n) = \exp[j(\omega n T_s + \varphi_0)]$, где $T_s$ – частота дискретизации, $\omega$ - круговая частота, $\varphi_0$ – начальная фаза, $j$–мнимая единица, $n$ - номер отсчета, все сходится: комплексную экспоненту можно описать рекуррентным соотношением $s(n) = c s(n-1)$, где $c = \exp(j\omega T_s), s(0) = \exp(j\varphi_0)$.
Это соотношение также может быть легко получено из $z$-преобразования

$$S(z) = \frac{\exp(j \varphi_0)}{1 - \exp(j \omega T_s)z^{-1}}$$

Далее я попробовал посчитать z-преобразование суммы двух произвольных комплексных экспонент

$$s_1(n) = A_1\exp[j(\omega_1 n T_s + \varphi_1)](1)$$

$$s_2(n) = A_2\exp[j(\omega_2 n T_s + \varphi_2)](2)$$

По моим расчетам получается, что это АРСС процесс 2-го порядка, т.е. присутствует ненулевой СС-параметр.

Привожу расчеты
Рассмотрим сумму двух произвольных комплексных экспонент

$$s(n) = s_1(n) + s_2(n)(3)$$

Найдем z-преобразование

$$S(z) = S_1(z) + S_2(z)(4)$$

$$S_1(z)=\frac{A_1\exp(j\varphi_1)}{1-\exp(j\omega_1T_s)z^{-1}} = \frac{b_1}{1+a_1z^{-1}}$, где $b_1=A_1\exp(j\varphi_1), a_1=-\exp(j\omega_1T_s)(5)$$

$$S_2(z)=\frac{A_2\exp(j\varphi_2)}{1-\exp(j\omega_2T_s)z^{-1}} = \frac{b_2}{1+a_2z^{-1}}$, где $b_2=A_2\exp(j\varphi_2), a_2=-\exp(j\omega_2T_s)(6)$$

Тогда

$$S(z)= \frac{b_1}{ 1+a_1z^{-1} } + \frac{b_2}{ 1+a_2z^{-1} } = \frac{ b_1 + b_1a_2z^{-1}+ b_2 + b_2a_1z^{-1} } { (1+a_1z^{-1})(1+a_2z^{-1}) } = \frac{ (b_1 + b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)z^{-1} } {1 + (a_1+a_2)z^{-1} + a_1a_2z^{-2} }(7)$$

Со знаменателем все понятно, он описывает АР-параметры 2-го порядка.
Рассмотрим числитель

$$(b_1 + b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)z^{-1} = $$

$$A_1\exp(j\varphi_1)+A_2\exp(j\varphi_2)+[-A_1\exp(j\varphi_1)\exp(j\omega_2T_s) - A_2\exp(j\varphi_2)\exp(j\omega_1T_s)]z^{-1}=$$

$$A_1\exp(j\varphi_1)+A_2\exp(j\varphi_2)-[A_1\exp(j[\omega_2T_s+\varphi_1]) + A_2\exp(j[\omega_1T_s+\varphi_2])]z^{-1}$$

Вопрос в следующем.
- Правильны ли мои рассуждения и расчеты?
- Можно ли все-таки представить сумму нескольких комплексных экспонент с произвольными начальными фазами и частотами как АР процесс?

Может быть кто-то даст ссылку где можно об этом подробно почитать. Так как в книгах и статьях по спектральному оцениванию обычно просто фигурирует тезис : «сумма комплексных экспонент с белым шумом хорошо моделируется АР-процессом».

Заранее спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Картинку просьба убрать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Fft]

Если мои выводы верны, не могу понять как тогда работают спектральные АР-методы...