2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма комплексных экспонент как АР процесс
Сообщение03.11.2014, 17:13 


03/11/14
5
Здравствуйте!
Изучаю современные методы спектрального оценивания. У Марпла и прочих авторов отмечается, что сумма комплексных экспонент хорошо моделируется авторегрессионной (АР) моделью. Попытался вывести аналитически АР коэффициенты для «чистых» комплексных экспонент без шума. Для одной комплексной экспоненты $s(n) = \exp[j(\omega n T_s + \varphi_0)]$, где $T_s$ – частота дискретизации, $\omega$ - круговая частота, $\varphi_0$ – начальная фаза, $j$–мнимая единица, $n$ - номер отсчета, все сходится: комплексную экспоненту можно описать рекуррентным соотношением $s(n) = c s(n-1)$, где $c = \exp(j\omega T_s), s(0) = \exp(j\varphi_0)$.
Это соотношение также может быть легко получено из $z$-преобразования
$$S(z) = \frac{\exp(j \varphi_0)}{1 - \exp(j \omega T_s)z^{-1}}$$

Далее я попробовал посчитать z-преобразование суммы двух произвольных комплексных экспонент
$$s_1(n) = A_1\exp[j(\omega_1 n T_s + \varphi_1)](1)$$
$$s_2(n) = A_2\exp[j(\omega_2 n T_s + \varphi_2)](2)$$
По моим расчетам получается, что это АРСС процесс 2-го порядка, т.е. присутствует ненулевой СС-параметр.

Привожу расчеты
Рассмотрим сумму двух произвольных комплексных экспонент
$$s(n) = s_1(n) + s_2(n)(3)$$

Найдем z-преобразование
$$S(z) = S_1(z) + S_2(z)(4)$$

$$S_1(z)=\frac{A_1\exp(j\varphi_1)}{1-\exp(j\omega_1T_s)z^{-1}} = \frac{b_1}{1+a_1z^{-1}}$, где $b_1=A_1\exp(j\varphi_1), a_1=-\exp(j\omega_1T_s)(5)$$

$$S_2(z)=\frac{A_2\exp(j\varphi_2)}{1-\exp(j\omega_2T_s)z^{-1}} = \frac{b_2}{1+a_2z^{-1}}$, где $b_2=A_2\exp(j\varphi_2), a_2=-\exp(j\omega_2T_s)(6)$$

Тогда
$$S(z)= \frac{b_1}{ 1+a_1z^{-1} } +  \frac{b_2}{ 1+a_2z^{-1} } =  
 \frac{ b_1 + b_1a_2z^{-1}+ b_2 + b_2a_1z^{-1} } { (1+a_1z^{-1})(1+a_2z^{-1}) } = 
 \frac{ (b_1 + b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)z^{-1} } {1 + (a_1+a_2)z^{-1} + a_1a_2z^{-2}  }(7)$$
Со знаменателем все понятно, он описывает АР-параметры 2-го порядка.
Рассмотрим числитель
$$(b_1 + b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)z^{-1} = $$
$$A_1\exp(j\varphi_1)+A_2\exp(j\varphi_2)+[-A_1\exp(j\varphi_1)\exp(j\omega_2T_s) - A_2\exp(j\varphi_2)\exp(j\omega_1T_s)]z^{-1}=$$
$$A_1\exp(j\varphi_1)+A_2\exp(j\varphi_2)-[A_1\exp(j[\omega_2T_s+\varphi_1]) + A_2\exp(j[\omega_1T_s+\varphi_2])]z^{-1}$$
Вопрос в следующем.
- Правильны ли мои рассуждения и расчеты?
- Можно ли все-таки представить сумму нескольких комплексных экспонент с произвольными начальными фазами и частотами как АР процесс?

Может быть кто-то даст ссылку где можно об этом подробно почитать. Так как в книгах и статьях по спектральному оцениванию обычно просто фигурирует тезис : «сумма комплексных экспонент с белым шумом хорошо моделируется АР-процессом».

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.11.2014, 17:15 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Картинку просьба убрать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.11.2014, 18:39 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма комплексных экспонент как АР процесс
Сообщение04.11.2014, 20:40 


03/11/14
5
Если мои выводы верны, не могу понять как тогда работают спектральные АР-методы...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group