Превратить дифф-ое уравнение в интегральное

[vanoand]

Здравствуйте!
У меня проблема, я не знаю, как обратить произвольное дифф-ое уравнение в интегральное, и как-то не могу найти примера.
Например, такое $ y' - (\sin x) y = x^2 $.
Я хочу, чтобы получилось что-то вроде $ y(x) = \int_0^x{...y(t)dt} + \int{..} ... $. Но как такое получить - не помню. Вроде взять интегрирующий множитель $ u(x) = exp(-\int_0^x{\sin t dt})$, а потом воспользоваться формулой $ y = \frac{\int_0^x{u(t)x^2dt} + c}{u(x)}$

[Otta]

Ну так одним глазом и мимо проходя - а метод вариации постоянных, надеюсь, Вы успели попробовать?

Upd А, сорри, не надо Вам его. )) Не прочитала, что Вы вовсе не решать хотите.

[ИСН]

Что получится, если Вы тупо возьмёте интеграл от всего уравнения, безо всяких множителей, прямо так, как есть?

[vanoand]

Хорошо, берем неопределенный интеграл, все получилось:
$ y - \int{(\sin x)ydx} = \int{x^2dx}$
Спасибо!

-- 03.11.2014, 21:12 --

А еще вопрос в догонку: я хочу, чтобы интегралы получились определенные от 0 до х. Тогда как в первом слагаемом получится $ y(x) $?

-- 03.11.2014, 21:19 --

Чего-то я плохо соображаю. Собственно, зачем понадобился интегрирующий множитель: мне очень надо, чтобы под знаком интеграла оказалась экспонента. Воот, я хотела спросить, как этого добиться?

-- 03.11.2014, 21:49 --

Я, по-моему, зря с самого начала написала, что вопрос решен, и теперь все думают, что тут все хорошо. Уважаемые модераторы, нужно вопрос запостить заново с точным указанием проблемы? Или тема получит внимание тут, но попозже?

[Slow]

Что мешает просто поменять неопределенный интеграл на определенный?

[vanoand]

О, здравствуйте! Может Вы мне поможете?
До все, проехали с пределами интегрирования. Я неправильно сформулировала вопрос с самого начала: хочу из дифференциального уравнения получить интегральное, и чтобы под знаком первого интеграла была экспонента $ y(x) = \int_0^x{\exp{...} y(t) dt} + \int_0^x{t^2 dt}$. Это как-то можно сделать, использую интегрирующий множитель.

[Otta]

Ну Вам же ответили. Интегрируйте от нуля до икс.

[ИСН]

vanoand в сообщении #926206 писал(а):

и чтобы под знаком первого интеграла была экспонента

Чтобы там была экспонента от чего? Просто так экспонента там уже есть, бесплатно. Например, $\exp(0)$. Или $\exp(\ln\sin x)$.

[vanoand]

Экспонента из интегрирующего множителя для $ y' - a(x)y = f(x)$
$ u(x) = exp(-\int_0^x{a(t) dt})$.
Как мне это объяснялось в плохом исполнении: давайте преобразуем линейное дифф-ое уравнение в интегральное уравнение 2-ого рода и решим его численно. Для этого воспользуемся интегрирующим множителем и известной формулой для решения линейного дифф-ого уравнения $ y = \frac{\int_0^x{u(t)f(t)dt} + c}{u(x)}$. Только вот это не уравнение вида $ y (x) = \int_0^x{K(x,t)y(t)dt} + f(x)$, так что, что-то не так.
Хочу получить как-то интегральное уравнение при помощи интегрирующего множителя.

-- 03.11.2014, 23:48 --

А то, что от нуля до икс, спасибо, ок :)

[Утундрий]

vanoand
Как бы вам помягче... В общем, для того, чтобы вашему набору слов сделаться предложением, нужно очень много ли.

[vanoand]

Утундрий,
это значит, что я плохо сформулировала, что требуется, или это невыполнимо? Лучше скажите грубо :)

[Утундрий]

Да никак вы не сформулировали. Совершенно непонятно, чего же вам в итоге требуется.

[vanoand]

Ясно, может быть, если рассказать историю с самого начала, то будет лучше.
В общем случае, у меня есть уравнение Риккати

$$ \frac{dy}{dx} = a(x)y^2 + b(x)y + c(x), y(x_0)=y_0,$$

которое, в принципе, можно решить, так (при условии, что правая часть $f(x,y)$ раскладывается в ряд Тейлора $ f(x,y) = f(x,y_0) + f'_y(x,y_0)(y-y_0) + o(y-y_0)^2$):

1. Сводим уравнение к линейному

$$ \frac{dy}{dx} - f'_y(x,y_0)(y-y_0) = f(x,y) - f'_y(x,y_0)(y-y_0) $$

$$ \frac{dy}{dx} - (2y_0a(x)+b(x))y = -a(x)y_0^2 + b(x)y_0 + c(x) $$

2. Применяем формулу с интегрирующим множителем:

$$ y(x) = e^{\int_0^x{2y_0a(t)+b(t) dt}} \int_0^x{e^{-\int{2y_0a(t)+b(t) dt}} (-a(t)y_0^2 + b(t)y_0 + c(t)) dt}$$

Тут уже можно численно легко найти решение методом Монте-Карло, благодаря тому, что не надо будет возиться с подбором плотности: под интегралом стоит экспонента, соответствующая показательному распределению.

Вроде бы конец, но от меня почему-то хотят решения другим способом. Хотят обратить дифференциальное уравнение, свести его к интегральному, следующего вида:

$$ y(x) = \int_0^x{K(x,t)y^2(t)dt} + F(x)$$

Причем по какой-то причине в ядро $K(x,t)$ обязательно должна войти экспонента из интегрирующего множителя $e^{-\int{2y_0a(t)+b(t) dt}} $ или какая-то очень похожая.

Мне это пытались объяснить эту операцию как-то так: рассмотрим

$$ \frac{dy}{dx} - b(x)y = a(x)y^2 + c(x), y(x_0)=y_0.$$

Найдем решение с помощью интегрирующего множителя (когда в правой части что???), подставим, обратим уравнение и получим красивенькое $ y(x) = \int_0^x{K(x,t)y^2(t)dt} + F(x).$ Непонятно.