Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?

[Kosat]

Есть ли асимптота у $\sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)}$ ? По определению? Почему?

Я думал, что есть - ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё. Но учитель сказал, что нету. Так и не объяснил. В википедии прочитал, что среди конических сечений лишь гипербола обладает асимптотами. Прямая - это вырожденное коническое сечение. Но это же не совсем прямая...

[gris]

У графика этой функции есть две наклонные асимптоты по стандартному матановскому определению. Соответствующие пределы легко считаются.
Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

[Shtorm]

gris в сообщении #925742 писал(а):

Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

Зная наших учителей, выскажу мнение, что скорей всего учитель просто не знает о наличии асимптот у графика данной функции. Или когда-то знал, но забыл.

Kosat в сообщении #925741 писал(а):

В википедии прочитал, что среди конических сечений лишь гипербола обладает асимптотами.

Так и есть! А по-Вашему, что за кривая задаётся уравнением

$$y=\sqrt{x^2+1}$$

Ну-ка не ленитесь, а возведите-ка обе части в квадрат. Перенесите. Что будет?

А вообще, в целом и общем, асимптотами обладает не только гипербола, но и множество самых различных кривых (не конических сечений). Так что не стоит в данном вопросе зацикливаться только на конических сечениях.

[Shtorm]

gris в сообщении #925742 писал(а):

Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

Вот сейчас в голову пришло, а может учитель имел ввиду, что нет вертикальных асимптот?

[gris]

А если график повращать вокруг биссектрисы координатного угла, то можно получить асимптотическую плоскость.

[ИСН]

Получил один такой.

-- менее минуты назад --

А, постойте, Shtorm - это же Вы и были? Ну ОК.

[Shtorm]

gris, истинно так!!!

-- Пн ноя 03, 2014 22:12:43 --

ИСН, и Вы мне в этом помогали Ещё раз спасибо.
Но школьных учителей путать не будем. Для школьных учителей дискуссионность какого-то понятия только на вред пойдёт. Да? Или я не прав?

[Someone]

Kosat в сообщении #925741 писал(а):

ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё.

Ну возьмём окрестности

$O(\{y=x\})=\{(x,y):\lvert y-x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$ и $O(\{y=-x\})=\{(x,y):\lvert y+x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$.

Сформулируйте, пожалуйста, определение асимптоты.

[Kosat]

Всем спасибо, значит, асимптота всё-таки есть. Последний комментарий непонятен.

[Shtorm]

Kosat в сообщении #926898 писал(а):

значит, асимптота всё-таки есть.

Две асимптоты.
И так не говорят про дельта-окрестность, что рано или поздно попадём в неё. Если будем двигаться по прямой $y=x$ при $x\rightarrow -\infty$ то будет всё большее и большее расстояние между точками прямой и точками графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Если же будем двигаться по прямой $y=-x$ при $x\rightarrow +\infty$ то будет всё большее и большее расстояние между точками этой прямой и точками графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Прочитайте в учебниках по математическому анализу определение асимптоты.

[Kosat]

Shtorm в сообщении #926902 писал(а):

будет всё большее и большее расстояние

А разве не меньшее?..

[Shtorm]

Kosat, меньшее будет, если будем двигаться в противоположную сторону на бесконечность по отношению к тем направлениям, о которых я написал выше. Вот поэтому-то и нельзя говорить - "рано или поздно попадём в дельта-окрестность". Надо чётко оговаривать, при каких конкретно условиях, а именно, при стремлении аргумента $x$ к тому-то и к тому-то.
И возможно Вы путаете понятие $\delta$-окрестности и расстояние $\delta$ между точкой прямой и соответствующей точкой графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Определение асимптоты прочитали в учебнике?

[Someone]

Kosat в сообщении #926898 писал(а):

Всем спасибо, значит, асимптота всё-таки есть. Последний комментарий непонятен.

Someone в сообщении #926283 писал(а):

Kosat в сообщении #925741 писал(а):

ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё.

Ну возьмём окрестности

$O(\{y=x\})=\{(x,y):\lvert y-x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$ и $O(\{y=-x\})=\{(x,y):\lvert y+x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$.

Сформулируйте, пожалуйста, определение асимптоты.

Я имею в виду, что ежели понимать окрестность прямой как обычно понимают, то есть, как произвольное открытое множество, содержащее прямую, то асимптоты не будет. Если Вы нарисуете указанные мной окрестности прямых $y=x$ и $y=-x$ (а я надеялся, что Вы догадаетесь это сделать), то увидите, что гипербола никогда в эти окрестности не входит. Поэтому попросил Вас также сформулировать определение асимптоты.

[Kosat]

"Аси́мпто́та[2] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[3]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[4]."

Так, вроде.

[provincialka]

Вот именно,

Kosat в сообщении #929045 писал(а):

при удалении точки вдоль ветви в бесконечность

. А когда вы говорите об "окрестности прямой" - такая окрестность протягивается вдоль всей прямой, и в "бесконечности" и в "конечности"