Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

Зная наших учителей, выскажу мнение, что скорей всего учитель просто не знает о наличии асимптот у графика данной функции. Или когда-то знал, но забыл.
В википедии прочитал, что среди конических сечений лишь гипербола обладает асимптотами.
Так и есть!

А по-Вашему, что за кривая задаётся уравнением

Ну-ка не ленитесь, а возведите-ка обе части в квадрат. Перенесите. Что будет?
А вообще, в целом и общем, асимптотами обладает не только гипербола, но и множество самых различных кривых (не конических сечений). Так что не стоит в данном вопросе зацикливаться только на конических сечениях.