2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 07:32 
Аватара пользователя


07/01/14
119
Есть ли асимптота у $\sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)}$ ? По определению? Почему?

Я думал, что есть - ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё. Но учитель сказал, что нету. Так и не объяснил. В википедии прочитал, что среди конических сечений лишь гипербола обладает асимптотами. Прямая - это вырожденное коническое сечение. Но это же не совсем прямая...

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
У графика этой функции есть две наклонные асимптоты по стандартному матановскому определению. Соответствующие пределы легко считаются.
Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 15:17 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
gris в сообщении #925742 писал(а):
Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?

:mrgreen: Зная наших учителей, выскажу мнение, что скорей всего учитель просто не знает о наличии асимптот у графика данной функции. Или когда-то знал, но забыл.

Kosat в сообщении #925741 писал(а):
В википедии прочитал, что среди конических сечений лишь гипербола обладает асимптотами.


Так и есть! :-) А по-Вашему, что за кривая задаётся уравнением
$$y=\sqrt{x^2+1}$$

Ну-ка не ленитесь, а возведите-ка обе части в квадрат. Перенесите. Что будет?

А вообще, в целом и общем, асимптотами обладает не только гипербола, но и множество самых различных кривых (не конических сечений). Так что не стоит в данном вопросе зацикливаться только на конических сечениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 20:55 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
gris в сообщении #925742 писал(а):
Может быть, учитель имел в виду, что нет общей асимптоты?


Вот сейчас в голову пришло, а может учитель имел ввиду, что нет вертикальных асимптот? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А если график повращать вокруг биссектрисы координатного угла, то можно получить асимптотическую плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Получил один такой.

-- менее минуты назад --

А, постойте, Shtorm - это же Вы и были? Ну ОК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение03.11.2014, 21:10 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
gris, истинно так!!! :-)

-- Пн ноя 03, 2014 22:12:43 --

ИСН, и Вы мне в этом помогали :-) Ещё раз спасибо.
Но школьных учителей путать не будем. Для школьных учителей дискуссионность какого-то понятия только на вред пойдёт. Да? Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение04.11.2014, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Kosat в сообщении #925741 писал(а):
ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё.
:shock: Ну возьмём окрестности
$O(\{y=x\})=\{(x,y):\lvert y-x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$ и $O(\{y=-x\})=\{(x,y):\lvert y+x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$.

Сформулируйте, пожалуйста, определение асимптоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение05.11.2014, 02:40 
Аватара пользователя


07/01/14
119
Всем спасибо, значит, асимптота всё-таки есть. Последний комментарий непонятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение05.11.2014, 03:04 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Kosat в сообщении #926898 писал(а):
значит, асимптота всё-таки есть.


Две асимптоты.
И так не говорят про дельта-окрестность, что рано или поздно попадём в неё. Если будем двигаться по прямой $y=x$ при $x\rightarrow -\infty$ то будет всё большее и большее расстояние между точками прямой и точками графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Если же будем двигаться по прямой $y=-x$ при $x\rightarrow +\infty$ то будет всё большее и большее расстояние между точками этой прямой и точками графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Прочитайте в учебниках по математическому анализу определение асимптоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение05.11.2014, 18:35 
Аватара пользователя


07/01/14
119
Shtorm в сообщении #926902 писал(а):
будет всё большее и большее расстояние


А разве не меньшее?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение05.11.2014, 19:14 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Kosat, меньшее будет, если будем двигаться в противоположную сторону на бесконечность по отношению к тем направлениям, о которых я написал выше. Вот поэтому-то и нельзя говорить - "рано или поздно попадём в дельта-окрестность". Надо чётко оговаривать, при каких конкретно условиях, а именно, при стремлении аргумента $x$ к тому-то и к тому-то.
И возможно Вы путаете понятие $\delta$-окрестности и расстояние $\delta$ между точкой прямой и соответствующей точкой графика функции $y=\sqrt{x^2+1}$. Определение асимптоты прочитали в учебнике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение05.11.2014, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Kosat в сообщении #926898 писал(а):
Всем спасибо, значит, асимптота всё-таки есть. Последний комментарий непонятен.
Someone в сообщении #926283 писал(а):
Kosat в сообщении #925741 писал(а):
ведь какую бы окрестность вокруг прямых $y=x$ и $y=-x$ мы не взяли, всегда рано или поздно все наши точки будут попадать в неё.
:shock: Ну возьмём окрестности
$O(\{y=x\})=\{(x,y):\lvert y-x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$ и $O(\{y=-x\})=\{(x,y):\lvert y+x\rvert<\sqrt{x^2+1}-\lvert x\rvert\}$.

Сформулируйте, пожалуйста, определение асимптоты.
Я имею в виду, что ежели понимать окрестность прямой как обычно понимают, то есть, как произвольное открытое множество, содержащее прямую, то асимптоты не будет. Если Вы нарисуете указанные мной окрестности прямых $y=x$ и $y=-x$ (а я надеялся, что Вы догадаетесь это сделать), то увидите, что гипербола никогда в эти окрестности не входит. Поэтому попросил Вас также сформулировать определение асимптоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение10.11.2014, 00:40 
Аватара пользователя


07/01/14
119
"Аси́мпто́та[2] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[3]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[4]."

Так, вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли асимптота у \sqrt{\left( {x}^{2}+1\right)} ?
Сообщение10.11.2014, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вот именно,
Kosat в сообщении #929045 писал(а):
при удалении точки вдоль ветви в бесконечность
. А когда вы говорите об "окрестности прямой" - такая окрестность протягивается вдоль всей прямой, и в "бесконечности" и в "конечности" :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group