Непредикативность определения супремума

[grizzly]

Известно, что определения понятий супремум и инфимум содержат неустранимый "порочный круг".
Разъясните, пожалуйста, в чём заключается эта порочность. Я бы предположил, что супремум определяется через инфимум верхних граней, а инфимум, соответственно, наоборот. Но, рассуждая в терминах непустых числовых множеств, например, замечаем, что множество верхних граней имеет минимум, что должно разорвать "порочность".

Просьба помочь с такими вопросами:
1) Разъясните, пожалуйста, причину "порочности".
2) Подскажите, пожалуйста, где об этом можно прочитать подробнее (я хотел бы внести аккуратную правку в Википедии, а гугл-поиск мне не помог).
3) Сохраняется ли "порочность" при стандартном рассмотрении только числовых множеств?

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #925811 писал(а):

Известно, что определения понятий супремум и инфимум содержат неустранимый "порочный круг".
Разъясните, пожалуйста, в чём заключается эта порочность.

Э-э-э. Я вот первый раз в жизни слышу про какой-то порочный круг. Так что "известно" и "разъясните" не в кассу. Лучше уж вы разъясните --- вы же тему подняли.

[Legioner93]

grizzly в сообщении #925811 писал(а):

замечаем, что множество верхних граней имеет минимум, что должно разорвать "порочность".

С чего это оно имеет минимум?

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #925815 писал(а):

Э-э-э. Я вот первый раз в жизни слышу про какой-то порочный круг. Так что "известно" и "разъясните" не в кассу.

Согласен, не в Вашу кассу. Я продолжаю искать, но вдруг кто-то знает и поможет. Уверен, что, будучи аспирантом, читал об этом в заслуживающей доверии литературе (но имею право и ошибаться, конечно).

[Nemiroff]

Какая прелесть.
Попробуем иначе --- вы можете написать определение супремума?

[grizzly]

Legioner93 в сообщении #925819 писал(а):

С чего это оно имеет минимум?

С того, что точная верхняя грань является верхней гранью (принадлежит множеству верхних граней). А в чём сомнения?

-- 03.11.2014, 15:38 --

Nemiroff в сообщении #925822 писал(а):

Какая прелесть.
Попробуем иначе --- вы можете написать определение супремума?

Да, могу.

Всем спасибо, нашёл что нужно в английской вики (на странице "Impredicativity" -- сам удивляюсь, как раньше пропустил). Уверен, что смогу дальше сам разобраться в общих чертах, но если вопрос попадётся на глаза специалисту, понимающему тонкости, прошу оставить свой комментарий.

[Otta]

grizzly в сообщении #925811 писал(а):

что супремум определяется через инфимум верхних граней, а инфимум, соответственно, наоборот.

Через минимум верхних граней и максимум нижних. И доказывается, что они существуют. Первым действием.
Либо же определяются на $\varepsilon$-языке, но возникает другой вопрос, правда, быстроустранимый - почему такое определение равносильно предыдущему.

[Legioner93]

grizzly
Вы правы, извиняюсь

[grizzly]

Otta в сообщении #925838 писал(а):

Через минимум верхних граней и максимум нижних.

Ну да, ведь и я об этом. А хотелось бы на простых примерах пощупать эту "непредикативность" (ссылку я дал выше).

[Otta]

Мне кажется, это Вам может помочь.

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #925843 писал(а):

А хотелось бы на простых примерах пощупать эту "непредикативность" (ссылку я дал выше).

Множество всех подмножеств aka power set.

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #925896 писал(а):

Множество всех подмножеств aka power set.

Я не хотел бы обострять разговор, но -- честно -- не могу понять, как этот пример относится к непредикативности супремума. Или это просто демонстрация понятия "порочный круг"? Так это не я об этом просил.

-- 03.11.2014, 17:34 --

Otta в сообщении #925892 писал(а):

Мне кажется, это
Вам может помочь.

Спасибо! Это должно помочь мне в легитимности моего обращения на форум, но не помогло разобраться в причине "порочного круга" определения супремума :)

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #925904 писал(а):

Я не хотел бы обострять разговор, но -- честно -- не могу понять, как этот пример относится к непредикативности супремума. Или это просто демонстрация понятия "порочный круг"? Так это не я об этом просил.

Почитайте вот тут.
http://ncatlab.org/nlab/show/predicative%20mathematics

[Otta]

grizzly в сообщении #925904 писал(а):

Спасибо! Это должно помочь мне в легитимности моего обращения на форум, но не помогло разобраться в причине "порочного круга" определения супремума :)

А напрасно, там очень хорошо все написано.
В частности, если Вы внимательно прочитали, то непредикативность определения - это все-таки не наличие в нем порочного круга. Непредикативное определение (если пока не лезть в предикаты) - это (цитирую) определение, осмысленность которого предполагает (дополнительно к определению) наличие предполагаемого объекта.

Что с супремумом и происходит. Определяя его как наименьшую из верхних граней, мы дополнительно будем вынуждены показывать, в каких случаях это определение что-то определяет, именно, когда (1) существуют верхние грани - что просто и (2) множество верхних граней имеет минимальный элемент.

Если написать его определение на $\varepsilon$-языке, много лучше не станет: это определение накладывает на числовое множество некое условие, про которое далеко не ясно, в каких случаях оно выполняется, выполняется ли вообще и почему, если выполняется, то только для одного числового значения.

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #925911 писал(а):

Почитайте вот тут. http://ncatlab.org/nlab/show/predicative%20mathematics

Море благодарностей! Да, это оно, всё прояснилось и стало на свои места.

-- 03.11.2014, 18:17 --

Otta в сообщении #925923 писал(а):

А напрасно, там очень хорошо все написано.

Спасибо за помощь, я без претензий :)

(Оффтоп)

Очень сложно бороться с предустановками упоротой интуиции и иногда нужен или толчок или переход количества в качество, чтобы заставить её посмотреть другими взглядом

По сути вопроса я теперь понимаю так. Непредикативное определение всё же содержит элемент "порочного круга" (не стоило впутывать сюда этот термин, увы мне). По сути непредикативность некоторого определения означает использование в нём самом (прямо или косвенно) ссылки на определяемое понятие (не только его наличие / существование). В случае с супремумом мне уже помогли здесь -- определение существенно (неустранимо) ссылается на множество, содержащее определяемое понятие; свойства этого множества и этого понятия связаны.

(Оффтоп)

У меня плохие разъяснительные навыки. И я приму любые возражения, если будут, но от дальнейших споров прошу уволить :)