Максвелл в потенциалах

[Sicker]

Че то я сходу не соображу, если мы рассмотрим уравнения Максвелла в форме потенциалов, то что мешает нам выбрать любые произвольные $j(x,y,z,t), p(x,y,z,t)$? А как же тогда уравнение непрерывности?

-- 02.11.2014, 13:35 --

мне кажется или я забыл уравнение связи?

[Red_Herring]

Я предполагаю (поскольку Вы говорите всякие слова, вместо того, чтобы честно записать исходные уравнения М., а потом показать подстановку, приводящую к уравнениям в форме потенциалов, то отвечая на Ваш вопрос приходится изображать ясновидящего) что изначально налагается некоторое условие (Х) на потенциалы. В результате у Вас получается волновое у-е где неизвестным служит 4х -мерный потенциал, а в правой части стоит 4х-мерный ток.

Вот если Вы вспомните то самое условие (Х), то и получите аналогичное условие на ток, а оно и будет равнением неразрывности.

[DimaM]

Sicker в сообщении #925384 писал(а):

что мешает нам выбрать любые произвольные $j(x,y,z,t), p(x,y,z,t)$?

Помимо Максвелла, должны ж еще материальные уравнения выполняться.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #925395 писал(а):

Вот если Вы вспомните то самое условие (Х), то и получите аналогичное условие на ток, а оно и будет равнением неразрывности.

Да, я просто в задаче Коши для трехмерного случая учел условие на потенциалы только в начальный момент времени, а потом про него забыл, а оказывается, оно работает на протяжении всего времени, и при заданном во всем пространстве-времени $j$ мы можем найти $p$, а начальная $p$ нам известна
Спасибо!

-- 02.11.2014, 13:48 --

DimaM в сообщении #925398 писал(а):

Помимо Максвелла, должны ж еще материальные уравнения выполняться.

мы рассматривается все в вакууме

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #925398 писал(а):

Помимо Максвелла, должны ж еще материальные уравнения выполняться.

Я предполагаю, что вопрос был другой (чисто математический): у классических уравнений М. условием совместимости служит уравнение неразрывности (т.е. без него $\mathb{E},\mathbf{H}$, удовлетворяющих УМ просто не существует). А вот для УМ в потенциалах это не так: волновое уравнение ни в каких условиях совместимости не нуждается.

Поэтому ответ: УМ в потенциалах эквивалентно исходным УМ только при дополнительном условии на потенциалы

[Munin]

Sicker в сообщении #925384 писал(а):

Че то я сходу не соображу, если мы рассмотрим уравнения Максвелла в форме потенциалов, то что мешает нам выбрать любые произвольные $j(x,y,z,t), p(x,y,z,t)$? А как же тогда уравнение непрерывности?

Мы же это уже обсуждали, здесь: «Теория поля». Причём с вашей же подачи.

Ответ таков: в уравнениях Максвелла в форме потенциалов $\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=4\pi j^\nu$ уже заложены ограничения на правую часть, потому что левая часть может принимать не все возможные значения. Вот уравнение непрерывности и является этим ограничением.

Sicker в сообщении #925384 писал(а):

мне кажется или я забыл уравнение связи? :roll:

А вот уравнения связи здесь нет. Его можно наложить, если вы захотите фиксировать калибровку. А если нет - то не будет.

Red_Herring в сообщении #925395 писал(а):

а оно и будет равнением неразрывности.

Терминологическая тонкость: это уравнение в электромагнетизме называется "уравнением непрерывности", а в гидродинамике "уравнением неразрывности". Также в электромагнетизме это "сохранение заряда (источника поля)".

Sicker в сообщении #925399 писал(а):

Да, я просто в задаче Коши для трехмерного случая учел условие на потенциалы только в начальный момент времени, а потом про него забыл

Какое условие? Говорите внятно!

Sicker в сообщении #925399 писал(а):

и при заданном во всем пространстве-времени $j$ мы можем найти $p$, а начальная $p$ нам известна

Не путайте буквы $p$ и $\rho,$ они совершенно разные! И ток полезно обозначать как вектор, $\mathbf{j},\boldsymbol{j}$ или $\vec{\jmath}.$

Red_Herring в сообщении #925405 писал(а):

Я предполагаю, что вопрос был другой (чисто математический): у классических уравнений М. условием совместимости служит уравнение неразрывности (т.е. без него $\mathb{E},\mathbf{H}$, удовлетворяющих УМ просто не существует). А вот для УМ в потенциалах это не так: волновое уравнение ни в каких условиях совместимости не нуждается.

Странное что-то пишете. УМ в потенциалах имеет тот же вид, что и УМ в напряжённостях: производная от формы есть форма. Таким образом, на правую часть наложены одинаковые условия: форма должна быть замкнута.

[amon]

Munin в сообщении #925563 писал(а):

Странное что-то пишете. УМ в потенциалах имеет тот же вид, что и УМ в напряжённостях: производная от формы есть форма. Таким образом, на правую часть наложены одинаковые условия: форма должна быть замкнута.

Позволю себе встрянуть. В полях $\bf E$ и $\bf H$ у нас 8 уравнений на 6 неизвестных, и что бы такая система была совместна, надо накладывать условия на правые части. В потенциалах число уравнений совпадает с числом неизвестных, и, формально, все решается при любых правых частях, поэтому сохранение заряда в потенциалах - следствие калибровочной инвариантности уравнений. Это - с моей, рабоче-крестьянской точки зрения.

[Munin]

amon в сообщении #925639 писал(а):

В потенциалах число уравнений совпадает с числом неизвестных

Вот только в промежутке всё плохо. То есть, есть и ограничения на совместность системы (сохранение заряда), и неопределённость решения (калибровочная свобода полученных потенциалов). Совпадают только "брутто" количества уравнений и неизвестных.

amon в сообщении #925639 писал(а):

и, формально, все решается при любых правых частях, поэтому сохранение заряда в потенциалах - следствие калибровочной инвариантности уравнений. Это - с моей, рабоче-крестьянской точки зрения.

А вот как соотносятся между собой калибровочная инвариантность и сохранение заряда - это мы разобрали подробно в той теме, на которую я дал ссылку: «Теория поля». Почитайте, там не так тривиально всё оказалось. Пришлось говорить о проекциях. Примерно с этого сообщения Red_Herring post884246.html#p884246 - идёт та самая тема (введены два тока, несохраняющийся и сохраняющийся).

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #925653 писал(а):

...которую я дал ссылку: «Теория поля»

Я как раз перед тем как лезть с советами это почитал и пожалел, что меня "тогда не было"

[Munin]

Ну, вы можете дописать свои сообщения. Надеюсь, по сути концепции у вас возражений нет?

[amon]

Munin в сообщении #925674 писал(а):

Ну, вы можете дописать свои сообщения. Надеюсь, по сути концепции у вас возражений нет?

Если сумею ясно сформулировать что-то новое в той теме, то попробую написать. Основные моменты там хорошо ухвачены.

[Munin]

Спасибо.

Ну вот на пальцах, мы имеем дело с таким случаем: число уравнений совпадает с числом неизвестных, но так, как будто у нас система уравнений

$$\begin{cases}ax_1+0x_2=b\\kax_2+0x_2=kb.\end{cases}$$

То есть, формально и неизвестных две, и уравнения два, а если приглядеться, то: уравнения между собой не независимы, то есть, одно можно исключить; и неизвестные не все входят в систему, то есть, неизвестной $x_2$ можно придать любое значение. Если мы посчитаем ранг системы

$$\operatorname{rank}\begin{pmatrix}a&0\\ka&0\end{pmatrix}=1,$$

то увидим, что реально он меньше числа уравнений и числа переменных.

Аналогично и с уравнениями Максвелла в потенциалах: 4 уравнения и 4 неизвестных, но фактически одна неизвестная неопределена - можно наложить одно скалярное калибровочное условие, например, $A^0=\varphi=0.$ И точно так же, одно уравнение можно исключить, выразив, например, $\rho$ через интеграл от уравнения непрерывности. Таким образом, ранг системы оказывается всего 3, а не 4.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #925563 писал(а):

Странное что-то пишете. УМ в потенциалах имеет тот же вид, что и УМ в напряжённостях: производная от формы есть форма. Таким образом, на правую часть наложены одинаковые условия: форма должна быть замкнута.

Учитывая, что ТС не написал ни одного уравнения изначально, можно было только гадать о каких уравнения идет речь. Либо мы говорим об уравнении

Munin в сообщении #925563 писал(а):

$\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=4\pi j^\nu$

либо о более привычном волновом $\partial_\mu\partial^\mu A^\nu = 4\pi j^\nu$ и чтобы удовлетворить первому надо налагать условия на $j^\nu$, а второму--нет. Но эти уравнения эквивалентны только при $\partial_\mu A^\mu=0$ (*) и это условие вместе с волновым у-ем влечет $\partial_\mu j^\mu=0$, и при этом волновое у-е на потенциалы получается из первоначальной системы Максвелла только при этом условии (*).

Я не претендую на ясновидение, какие уравнения имел в виду ТС--знает лишь всеведущий.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #925708 писал(а):

либо о более привычном волновом $\partial_\mu\partial^\mu A^\nu = 4\pi j^\nu$

Э нет, чукчу не запутаешь! Это "более привычное волновое" выводится из уравнения Максвелла в условии калибровки Лоренца. А без наложенной калибровки, имеем $\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=4\pi j^\nu,$ и никаких гвоздей.

Red_Herring в сообщении #925708 писал(а):

и чтобы удовлетворить первому надо налагать условия на $j^\nu$, а второму--нет.

Да-а-а... но если во второе подставить "неправильную" правую часть, то и решение получится не удовлетворяющее калибровке, которая всё-таки наложена. Криво как-то получается: калибровку наложили, а решение ей не удовлетворяет. Так что, я не согласен считать этот случай равносильным уравнению Максвелла. Вот если добавить условия на $j^\nu,$ то согласен (с ворчанием про калибровку).

Red_Herring в сообщении #925708 писал(а):

Я не претендую на ясновидение, какие уравнения имел в виду ТС--знает лишь всеведущий.

Ну, по предыдущим темам можно судить, что что-то весьма стандартное - а за расхлябанность его надо настучать по голове, конечно.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #925784 писал(а):

Э нет, чукчу не запутаешь!

Munin
"Чукчу" Мунина я точно не пытался запутать, а "чукча" ТС запутал сам себя и похоже именно этим способом.

Если я правильно помню, то в тех книгах, по которым я сам учил физику (а тогда я уже был достаточно умным, чтобы первую попавшуюся макулатуру не читать) именно выводили обычное волновое уравнение при условии калибровки (а потом об этом условии не то что забывали, но стыдливо умалчивали)