Че то я сходу не соображу, если мы рассмотрим уравнения Максвелла в форме потенциалов, то что мешает нам выбрать любые произвольные

? А как же тогда уравнение непрерывности?
Мы же это уже обсуждали, здесь:
«Теория поля». Причём с вашей же подачи.
Ответ таков: в уравнениях Максвелла в форме потенциалов

уже заложены ограничения на правую часть, потому что левая часть может принимать не все возможные значения. Вот уравнение непрерывности и является этим ограничением.
мне кажется или я забыл уравнение связи? :roll:
А вот уравнения связи здесь нет. Его можно наложить, если вы захотите фиксировать калибровку. А если нет - то не будет.
а оно и будет равнением неразрывности.
Терминологическая тонкость: это уравнение в электромагнетизме называется "уравнением непрерывности", а в гидродинамике "уравнением неразрывности". Также в электромагнетизме это "сохранение заряда (источника поля)".
Да, я просто в задаче Коши для трехмерного случая учел условие на потенциалы только в начальный момент времени, а потом про него забыл
Какое условие? Говорите внятно!
и при заданном во всем пространстве-времени

мы можем найти

, а начальная

нам известна
Не путайте буквы

и

они совершенно разные! И ток полезно обозначать как вектор,

или

Я предполагаю, что вопрос был другой (чисто математический): у классических уравнений М. условием совместимости служит уравнение неразрывности (т.е. без него

, удовлетворяющих УМ просто не существует). А вот для УМ в потенциалах это не так: волновое уравнение ни в каких условиях совместимости не нуждается.
Странное что-то пишете. УМ в потенциалах имеет тот же вид, что и УМ в напряжённостях: производная от формы есть форма. Таким образом, на правую часть наложены одинаковые условия: форма должна быть замкнута.