Выражение 0^0

[shwedka]

shust

Цитата:

Цитата:
Но, может быть, еще точнее было бы сказать
'не определимо' - имея в вуду, что невозможно определить так, чтобы со ВСЕМИ релевантными математическими структурами согласовывалось.
"невозможно определить" -вот это вопрос спорный. Меня еще пугает слово "релевантными" в этой фразе.

Ну уж простите,
статьи пишу по-английски, преподаю по-шведски, русские слова забываются.

[Yarkin]

Профессор Снэйп писал(а):

Ноль является натуральным числом по определению.

Можете указать источник?

[Профессор Снэйп]

Yarkin писал(а):

Можете указать источник?

Например, С. Клини, "Математическая Логика", стр. 207

Это вторая по счёту книга, которую я снял со своей полки в поисках ответа на Ваш вопрос. Первая была задачник Демидовича, там натуральный ряд с единицы начинается.

Определение такое: натуральные числа суть конечные ординалы. Ноль является натуральным числом согласно этому определению.

Других определений натуральных чисел вроде пока не известно. Зато в куче источников понятие натурального числа считают неопределяемым, и тогда натуральный ряд начинают либо с нуля, либо с единицы, как больше нравится автору. Насколько я понимаю, обе традиции достаточно мощные и у обоих куча приверженцев.

[Someone]

Вообще-то, спор об определениях не очень понятен. Фактом является то, что в одних ситуациях удобно включать ноль в множество натуральных чисел, а в других - не включать. Поэтому у обоих вариантов есть стойкие приверженцы.

Изначально натуральные ("природные", "естественные") числа происходят из счёта отдельных предметов. Число ноль для счёта предметов не употребляется. Поэтому ноль появился в математике много позже натуральных чисел.

[ddn]

RIP писал(а):

ddn писал(а):

Как известно, аналитическая функция вблизи своей существенно особой точки в любой ее окрестности принимает ВСЕ значения (включая бесконечное) кроме, может быть, трех.

Вообще-то, бесконечное значение она принимать не может по определению существенной особой точки…

Может, если понимать аналитическую функцию несколько расширенно, как функцию из $(\overline{\mathbb C} \to \overline{\mathbb C})$. Тогда аналитическая функция может принимать бесконечные значения и быть аналитичной при нем, а полюса становятся устранимыми особыми точками. Также функции могут быть определены, и быть аналитичны в бесконечной точке комплексной сферы.

RIP писал(а):

…и ещё может быть не более одного исключительного значения. (Но Ваше утверждение тоже верно .)

Относительно степени $x^y$, которая есть экспонента $exp(y (ln(x)+i 2 \pi n))$ при $x\not=0,\infty$ и $y\not=\infty$ исключительное значение действительно одно: $0$ - по переменной $x$ если $y\not=0$ и по переменной $y$ если $x\not=0$ или $n\not=0$. Хотя, в случае непостоянной функции общего вида, число исключительных значений: меньше-равно трем.

shwedka писал(а):

…вспомните, плиз, что у вас функция двух комплексных переменных, а для таковых понятия существенно особой точки нет, аналога теоремы Пикара нет, и вообще вся наука другая.

Но ведь одну переменную можно зафиксировать: $set\lim\limits_{y\to 0}0^y$ или $set\lim\limits_{x\to 0}x^0$, либо рассмотреть произвольный параметрический (и аналитический) путь $x=x(z)$, $y=y(z)$, где $x(0)=0$, $y(0)=0$ - тогда предел будет: $set\lim\limits_{z\to 0}x(z)^{y(z)}$. Подпредельная функция в этом случае будет от одной переменной.

shwedka писал(а):

И хотелось бы поконкретнее про предел по двум переменным. Даже для хороших функций от порядка пределов результат может сильно зависеть.

Естественно зависит! Рассматриваем произвольную взаимозависимость между переменными при стремлении их к нулю (произвольный путь), а потом собираем в множество все возможные существующие пределы (с единственным значением предела) – получаем тоже самое. Более общий подход: предел по произвольному подмножеству аргументов вблизи предельной точки.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Изначально натуральные ("природные", "естественные") числа происходят из счёта отдельных предметов. Число ноль для счёта предметов не употребляется. Поэтому ноль появился в математике много позже натуральных чисел.

Натуральные числа --- это числа, которые используются для обозначения количества дискретных, неделимых предметов. Например, для обозначения возможного количества яблок в вазе. Может быть в вазе 3 или 5 яблок? Может. А 0 яблок? Тоже может, когда ваза пустая. А 3/2 или $-\sqrt{3}$ яблок? Нет, не может, это абсурд.

[ddn]

Профессор Снэйп писал(а):

Читал на каком-то сайте, что следующая история реально произошла с Вейерштрассом. Дескать, его жена пошла к портному или просто в какой-то магазин за тряпками, а ему сказала: "Если не знаешь, что делать --- пересчитывай почтовые ящики на углах домов, как дойдёшь до десяти в очередной раз, начинай снова, время незаметно пролетит". Через час возвращается, а он говорит: "Тут мало ящиков, не понимаю, как их до десяти можно было насчитать." Жена: "В смысле?" Муж: "Ну вот, смотри", --- показывая пальцами на ящики --- "0,1,2,3..."

Дело в том, что при счете предметов, каждому приписывается номер - начиная с единицы, а номер (максимальный) последнего предмета обозначает и число самих этих предметов - это простейшая процедура взаимнооднозначного соответствия, для которой используется натуральный ряд, начинающийся с единицы. В этом ряду, каждое число одновременно обозначает некоторое количество предметов (из некоторого абстрактного набора), и в тоже время оно равно количеству предшествующих (меньших) ему натуральных чисел, включив само это число - на чем и основана процедура счета, взаимнооднозначное соответствие. Так что в натуральном ряде от единицы заключен и методологический, и практико-исторический смысл. Этот ряд, однако, создает методологические трудности для счета бесконечных количеств, ведь бесконечное натуральное число, которое обозначает количество чисел уже ВСЕГО натурального ряда, должно быть, по идее, последним числом этого ряда, а такого числа нет - что и создает указанные трудности. Счет же начинающийся с нуля - это нечто совсем другое. Здесь количество перечтенных предметов будет обозначаться не номером последнего перечтенного предмета $n$, а множеством номеров этих предметов: $\{0,1,...,n\}$. Естественно, что такие абстрактные категории были совершенно чужды конкретному мышлению древних людей (да и современных людей-нематематиков). Но зато, этот теоретико-множественный подход свободно обобщается на бесконечные (трансфинитные) порядковые количества - одинаково и для предельных и для непредельных чисел (ординалов).

Профессор Снэйп писал(а):

...У нас в статьях обычно просто пишут $\omega$, ничего не поясняя. Я же всё-таки логик Занимаюсь теорией вычислимости...

А Вы занимаетесь вычислимостью на трансфинитных ординалах, или только на $\omega_0$? Меня интересует вопрос категоричности вычислений на таких ординалах (без оракулов, конечно), а именно, категоричности результатов доказательств в тех или иных теориях. Например, вопрос о непротиворечивости арифметики второго порядка и, скажем, теории $ZFC$ будет конечно разрешим на трансфинитных ординалах (перебором счетного числа всех доказательств), но будет ли результат независим от выбранного ординала и модели вычислений? (не используя оракулы)
Sorry: Вопрос конечно не по теме.

[Yarkin]

Профессор Снэйп писал(а):

Например, С. Клини, "Математическая Логика", стр. 207

Спасибо. Я нашел. Арнольд И. В. "Теоретическая арифметика" целые числа считает двусторонним натуральным рядом. Достигается путем расширения понятия н. ч. Тогда не надо давать определения натуральных чисел и вводить основную массу изучающих математику в заблуждение. Но Вы не ответили на предыдущие ??.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Someone писал(а):

Изначально натуральные ("природные", "естественные") числа происходят из счёта отдельных предметов. Число ноль для счёта предметов не употребляется. Поэтому ноль появился в математике много позже натуральных чисел.

Натуральные числа --- это числа, которые используются для обозначения количества дискретных, неделимых предметов. Например, для обозначения возможного количества яблок в вазе. Может быть в вазе 3 или 5 яблок? Может. А 0 яблок? Тоже может, когда ваза пустая. А 3/2 или $-\sqrt{3}$ яблок? Нет, не может, это абсурд.

Эта интерпретация нуля - "пустая ваза" - появилась уже после появления нуля. И инерпретация отрицательных чисел как "долга" - после появления отрицательных чисел. Мне кажется, и то и другое - исключительно в педагогических целях. Никто ведь не считает яблоки в пустой вазе. И никто на практике не обозначает долг отрицательным числом: говорят "Я должен 100 рублей", а не "У меня есть -100 рублей".

Что касается определения натуральных чисел, соответствующего тому, о чём я говорю, то их можно определить как мощности непустых конечных множеств.

Я специалист в теоретико-множественной топологии. Мне систематически встречаются ситуации, когда удобнее пользоваться конечными ординалами (тогда я беру $\omega_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$), и когда удобнее натуральные числа (тогда беру $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$). Хочется Вам называть конечные ординалы натуральными числами - на здоровье. Но не требуйте этого от специалиста в теории чисел, которому, может быть, удобнее не считать ноль натуральным числом.

P.S. На всякий случай заглянул в математическую энциклопедию: "Натуральное число может быть истолковано как кардинальное число непустого конечного множества".

P.P.S. Я всё-таки не понимаю смысла этого спора. Есть два неэквивалентных определения натуральных чисел. Какое Вам удобнее, таким и пользуйтесь.

P.P.P.S. На мой взгляд, понятие натурального числа предшествует любой математической или логической теории. Боюсь, мы не сможем сформулировать ни логическую, ни математическую теорию, не имея никакого представления о натуральных числах. Поэтому любые определения натуральных чисел, формулируемые в логике или математике - это не более чем модели понятия натурального числа и натурального ряда, существующего априорно по отношению к логике и математике.

[Yarkin]

Someone писал(а):

P.S. На всякий случай заглянул в математическую энциклопедию: "Натуральное число может быть истолковано как кардинальное число непустого конечного множества".

А вот как натурализирует нуль Арнольд:
"Определение. Введем в качестве натурального числа символ $0$, поставив на первое место ряда, перед единицей, и изменяя соответственно текст положений 1 - 4..."
Имеются в виду аксиомы Пеано. А В. Гюго в "Соборе парижской богоматери" писал: "Символ не есть число."

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

А В. Гюго в "Соборе парижской богоматери" писал: "Символ не есть число."

Как Вы. однако, обидно непочтительны с авторитетами! Вот я бы непременно написал "Великий и непревзойдённый математический гений, А В. Гюго в "Соборе парижской богоматери" писал: "Символ не есть число."

[STilda]

Someone писал(а):

Эта интерпретация нуля - "пустая ваза" - появилась уже после появления нуля. И инерпретация отрицательных чисел как "долга" - после появления отрицательных чисел. Мне кажется, и то и другое - исключительно в педагогических целях. Никто ведь не считает яблоки в пустой вазе. И никто на практике не обозначает долг отрицательным числом: говорят "Я должен 100 рублей", а не "У меня есть -100 рублей".

Есть натуральные числа. А есть целые положительные. Это не одно и тоже. Понятие нуля по идее возникло одновременно с появлением понятий положительности и отрицательности и означало нейтральность. Если натуральный ряд начинают с нуля, то это только поменяли значки. Единицу стали обозначать нулем, двойку единицей, и т.д. Свою смысловую нагрузку такой ноль приобретает только при выходе за натуральный ряд.

Someone писал(а):

P.P.P.S. На мой взгляд, понятие натурального числа предшествует любой математической или логической теории. Боюсь, мы не сможем сформулировать ни логическую, ни математическую теорию, не имея никакого представления о натуральных числах. Поэтому любые определения натуральных чисел, формулируемые в логике или математике - это не более чем модели понятия натурального числа и натурального ряда, существующего априорно по отношению к логике и математике.

Цитата:

"Символ не есть число."

Согласен. Этот нюанс часто упускают из виду.

[Someone]

STilda писал(а):

Есть натуральные числа. А есть целые положительные. Это не одно и тоже.

Ну-ка, просветите нас, в чём разница?

STilda писал(а):

Понятие нуля по идее возникло одновременно с появлением понятий положительности и отрицательности и означало нейтральность.

А без всякой идеи, никакой нейтральности нуль не означал. Означал он, как и положено, "ничто", то есть, отсутствие чего-либо. И вовсе не всегда и не везде был связан с отрицательными числами, да и сейчас ситуация такая же. Понятие "нейтрального элемента" в алгебре также не имеет отношения к "полярностям", Вам же хочется видеть их везде. Лучше, вероятно, поискать литературу по истории математики и посмотреть, что там было на самом деле.

STilda писал(а):

Если натуральный ряд начинают с нуля, то это только поменяли значки. Единицу стали обозначать нулем, двойку единицей, и т.д. Свою смысловую нагрузку такой ноль приобретает только при выходе за натуральный ряд.

"Смысловую нагрузку" ноль имел без всякого "выхода за натуральный ряд", причём, заведомо отличающуюся от "смысловой нагрузки" единицы. Да и в арифметических операциях нуль и единица ведут себя различным образом. А начинать натуральный ряд с нуля или с единицы - не столь уж важно.

[Профессор Снэйп]

ddn писал(а):

А Вы занимаетесь вычислимостью на трансфинитных ординалах, или только на $\omega_0$? Меня интересует вопрос категоричности вычислений на таких ординалах (без оракулов, конечно), а именно, категоричности результатов доказательств в тех или иных теориях. Например, вопрос о непротиворечивости арифметики второго порядка и, скажем, теории $ZFC$ будет конечно разрешим на трансфинитных ординалах (перебором счетного числа всех доказательств), но будет ли результат независим от выбранного ординала и модели вычислений? (не используя оракулы)

Честно говоря, плохо понял, что Вы от меня хотите услышать.

Классическую вычислимость (машины Тьюринга с оракулами и без, частично рекурсивные функции и т. п.) знаю, это как раз то, чем я занимаюсь. Если Вы это понимали под вычислимостью только на $\omega_0$, то да, я занимаюсь вычислимостью на $\omega_0$. Хотя в рамках именно этой самой вычислимости введено понятие конструктивного ординала, ординала $\omega_1^{CK}$, так что мы имеем дело не только с $\omega_0$

Есть ещё вычислимость на допустимых множествах (вычислимость задаётся через $\Sigma$-определимость). Этот подход и классический тесно связаны, но сигма-определимость позволяет задавать понятие вычислимости на произвольных структурах. В частности, на произвольных ординалах. Но боюсь, что Вас интересует не это.

Есть ещё различные подходы к вычислимости на $\mathbb{R}$, на различных топологических пространствах. Довольно популярная тема... Но боюсь, что Вы что-то совершенно другое имели в виду.

Что такое "категоричность вычислений" и "категоричность результатов доказательств" я не знаю. Никогда не встречался с этими терминами. В теории моделей есть такое понятие, как категоричная теория, но это, как мне кажется, совсем не то, что Вас интересует.

Что касается арифметики второго порядка --- тоже не понял вопроса. Исчисление второго порядка не полно и принципиально не пополняемо (по крайней мере, эффективным способом), так что неясно, что там понимать под противоречивостью.

Есть доказательства непротиворечивости некоторой подтеории в арифметике первого порядка, использующие трансфинитную индукцию по ординалу $\varepsilon_0$. Я в подобные вещи никогда не углублялся, но боюсь, с исчислениями второго порядка и с вычислимостью это слабо связано. Хотя, возможно, и ошибаюсь.

В-общем, буду благодарен, если Вы зададите более конкретные вопросы.

Добавлено спустя 12 минут 1 секунду:

Someone писал(а):

Хочется Вам называть конечные ординалы натуральными числами - на здоровье. Но не требуйте этого от специалиста в теории чисел, которому, может быть, удобнее не считать ноль натуральным числом.

Да я и не требую

На самом деле я сам не сторонник оголтелого формализма. Но всё же, если аппелировать к нему...

Все объекты в математике суть множества. Математика работает только с множествами, ничего другого у них просто нет. Числа вводятся так:

Сначала определяем натуральные числа как конечные ординалы. Затем доказываем для них (в ZFC) принцип индукции. Вводим по индукции сложение и умножение. Определяем через эти операции одно отношение эквивалентности на натуральных числах, классы эквивалентности называем целыми числами. На целых числах вводим операции через операции над натуральными. Определяем на $\mathbb{Z}$ отношение эквивалентности, получаем $\mathbb{Q}$. На $\mathbb{Q}$ вводим "сечения" (по Дедекинду или чуть улучшенным способом), определяем $\mathbb{R}$. И так далее.

По моему, это всё бурбаки аккуратно проделали и где-то у них это есть. Или даже это было всё сделано до бурбаков.

Если есть желание, я все эти конструкции могу подробно расписать. Но это долго... Я это сделаю, если для Вас это действительно важно. Если нет, то предлагаю спор завершить. Вопрос, с какого числа следует начинать натуральный ряд не столь уж принципиален, тут об этом, по-моему, все мало-мальски продвинутые люди твердят.

[STilda]

Someone писал(а):

Ну-ка, просветите нас, в чём разница?

Умножение целых можно задать двояко. (++=+, ++=-). А натуральных - нет. Количество предметов или чего ли бы то нибыло отрицательным быть не может. Потому отрицательность и положительность отдельная от количества характеристика.

Someone писал(а):

Понятие "нейтрального элемента" в алгебре также не имеет отношения к "полярностям", Вам же хочется видеть их везде

)) А вам хочется не видеть их нигде. Подходы до определенного момента равноправны.

Someone писал(а):

А без всякой идеи, никакой нейтральности нуль не означал. Означал он, как и положено, "ничто", то есть, отсутствие чего-либо.

Может вы и правы.