Школьная задачка по теории чисел.

[integral2009]

а) Докажите, что существует бесконечно много нечетных натуральных чисел $n$ таких,
что $2^n+n$ — составное число.
б) Дано четное число $a$. Докажите, что существует бесконечно много нечетных натуральных
чисел n таких, что $a^n + n$ — составное число

а) Пока такая была идея
Я так понимаю, что при нечетном $n$, при делении на 3 могут быть остатки:
-- ноль, тогда уже составное число $2^n+n$
--один, тогда $2^n+n=3k+1$, но что это дает?
-- два, тогда $2^n+n=3k+2$, но что это дает?

[ИСН]

Как говорил Артемий Лебедев, Ваша идея стоит минус тыщу баксов. Она не даёт ничего и ещё раз ничего.
Попробуем с другой стороны. Какие остатки может давать само $n$ при делении на 3? А какие тогда - во всех этих случаях - остатки даёт $2^n$?

[integral2009]

ИСН в сообщении #924115 писал(а):

Как говорил Артемий Лебедев, Ваша идея стоит минус тыщу баксов. Она не даёт ничего и ещё раз ничего.
Попробуем с другой стороны. Какие остатки может давать само $n$ при делении на 3? А какие тогда - во всех этих случаях - остатки даёт $2^n$?

$n$ дает остатки $0,2$

$2^n$ дает остатки $1,2$

Значит их сумма может давать остатки при делении на три $0,1,2$

[ИСН]

$n$ дает только эти остатки и больше никаких?
Комбинации остатков от $n$ и $2^n$ возможны любые? Как часто появляются разные варианты? Может, в них какая-то закономерность есть?

[integral2009]

ИСН в сообщении #924122 писал(а):

$n$ дает только эти остатки и больше никаких?
Комбинации остатков от $n$ и $2^n$ возможны любые? Как часто появляются разные варианты? Может, в них какая-то закономерность есть?

Я не могу придумать такое нечетное число, которое при делении на 3 могло бы дать остаток 1. Разве есть такие?

[Sonic86]

integral2009 в сообщении #924124 писал(а):

Я не могу придумать такое нечетное число, которое при делении на 3 могло бы дать остаток 1. Разве есть такие?

Жесть, написать в тексте искомое число и заявить, что не можете его придумать, это даааа....

[integral2009]

Ой, сумма чисел дает остаток или ноль или 2. Если ноль, то все ясно, что составное, но почему когда два -- составное?

[ИСН]

Делая резкие шаги, можно очутиться в болоте. Сумма кого даёт какой остаток и когда?

[provincialka]

integral2009 в сообщении #924160 писал(а):

но почему когда два -- составное?

А зачем? Вам тех, для которых остаток 0, мало?