Олимпиада НГУ - 2014

[RIP]

bot в сообщении #923114 писал(а):

5. Найти все функции $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, удовлетворяющие тождеству $4f(f(x))=-4f(x)+3x$.

Поскольку $f(x)\geqslant0$, то $f(x)\leqslant\dfrac34x$, в частности, $f(0)=0$. Пусть

$$0\leqslant m:=\inf_{x>0}\frac{f(x)}x\leqslant\sup_{x>0}\frac{f(x)}x=:M\leqslant\frac34.$$

Тогда $m^2x\leqslant f(f(x))\leqslant M^2x$, так что $\left(\dfrac34-M^2\right)x\leqslant f(x)\leqslant\left(\dfrac34-m^2\right)x$, т.е. $\dfrac34-M^2\leqslant m\leqslant M\leqslant\dfrac34-m^2$. В принципе, можно нарисовать картинку и увидеть, что $m=M=\dfrac12$, т.е. $f(x)=x/2$. Или так: с одной стороны, $m\leqslant\dfrac12$; с другой стороны, $m\geqslant\dfrac34-\left(\dfrac34-m^2\right)^2$, или $(m-1/2)^3(m+3/2)\geqslant0$.

[RIP]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #923298 писал(а):

bot в сообщении #923114 писал(а):

1. Пусть $f(x)$ определена и монотонна на промежутке $[0; +\infty).$
Докажите, что, если и несобственный интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то $\lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0.$

Задача, конечно, бродячая, но как её модно решать в приличном обществе -- не помню.

В приличном обществе принято рассматривать интеграл $\int_{x/2}^xf(t)\,\mathrm dt$.

[Cash]

bot в сообщении #923114 писал(а):

3. Петя и Вася по очереди передвигают фишку в прямоугольнике $1959\times 2014$, разбитом на единичные квадратики. Первоначальное положение фишки --- в правом верхнем угловом квадратике. За один ход разрешается передвинуть фишку в пределах прямоугольника на любое положительное число квадратиков либо влево либо вниз.
Выигрывает тот, кто первым займёт левый нижний угол. Первый ход у Пети, зато Вася имеет право один раз за всю игру отказаться от очередного хода. У кого есть выигрышная стратегия?

А что за странное условие? С такими правилами Вася выиграет практически в любой игре.

[bot]

Например, в шахматах?
Хотелось сквозную задачу для всех. Выбрал 3-ю, но для непрофильных потребовалось упрощение. Естественно было просто поменять цель на противоположную, но тогда уж слишком просто было бы - вот эпсилон и добавил.

[Cash]

(Оффтоп)

Практически в любой - это не значит в любой

Но зачем тогда весь первый абзац?
Игра конечна, а значит существует выигрышная стратегия. Если после первого хода Пети (а он не может выиграть за один ход) выигрышная стратегия у начинающего - Вася применяет её. Если у второго - Вася пропускает ход и тоже выигрывает.
Задача проста, чтобы так читерить, но должны же были быть такие решения?
Кстати, Вы ее с форума взяли http://dxdy.ru/topic88869.html или это просто совпадение?

[bot]

Совпадение. Я уже сказал, откуда она.

[TOTAL]

bot в сообщении #923114 писал(а):

5. Найти все функции $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, удовлетворяющие тождеству $4f(f(x))=-4f(x)+3x$.

Заданное тождество $4f_2(x)=-4f_1(x)+3f_0(x)$ перепишем двумя способами:

(1) $\displaystyle f_{n+1}(x)+\frac{3}{2}f_{n}(x)=\frac{1}{2}\left( f_{n}(x)+\frac{3}{2}f_{n-1}(x) \right)$
(2) $\displaystyle f_{n+1}(x)-\frac{1}{2}f_{n}(x)=-\frac{3}{2}\left( f_{n}(x)-\frac{1}{2}f_{n-1}(x) \right)$

Из (1) следует, что $f_n(x)$ стремится к нулю с ростом $n.$
Тогда из (2) следует, что $f_{n}(x)-\frac{1}{2}f_{n-1}(x)=0$

[VSSISTU]

С произведением красивая задача, помнится на какой-то из олимпиад решал нечто подобное с переходом от двойной суммы к интегралам =)

[Ktina]

bot в сообщении #917901 писал(а):

5. Найдите наименьший квадрат, который можно сложить из $10$ различных прямоугольников с целочисленными сторонами.

10 наименьших по площади прямоугольников с целочисленными сторонами имеют площадь 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 и 8 соответственно, а это в сумме 46, следовательно, "шестёрочки" у нас не получится.
"Семёрочка" же режется легко: