2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 10:30 


17/05/13
175
Может кто нибудь сталкивался.Надо найти $\exp(\zeta(s))$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Что значит найти? Вычислить в точке? Выразить через что-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 11:23 


17/05/13
175
ex-math в сообщении #923050 писал(а):
Что значит найти?

Представить в виде ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Слишком обще. Нужен степенной ряд? В окрестности какой точки? Или ряд по каким-то функциям. На самом деле, ничего удобнее и короче исходной записи не будет. Логарифм дзеты -- другое дело, там можно записать ряд по нулям, а здесь все интересные особенности, кроме полюса в единице, стерты. Обычная малоинтересная почти целая функция без нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 12:11 


17/05/13
175
ex-math в сообщении #923057 писал(а):
Или ряд по каким-то функциям.

можно так?
$\exp(\zeta(s)) =a_1 \frac{1}{1^s}+a_2\frac{1}{2^s}+a_3\frac{1}{3^s}+\ldots,$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Так можно:
$$
e^{\zeta(s)}=e\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^s}\right)^k,
$$
только коэффициенты лень собирать. При $\mathrm{Re}s>1$ все сходится хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 12:34 


17/05/13
175
ex-math в сообщении #923070 писал(а):
только коэффициенты лень собирать.

А надо бы собрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Попробуйте сами. Если $n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r}$, то в коэффициент при $n^{-s}$ вклад внесут члены с $k\leqslant \alpha_1+\ldots+\alpha_r$. Для каждого $k$ надо решить комбинаторную задачу: сколькими способами можно по $k$ различимым ячейкам разложить $\alpha_1$ неразличимых шаров цвета $1$, $\alpha_2$ неразличимых шаров цвета $2$ и т.д.
Если нужны только первые коэффициенты, проще посчитать вручную. Общая формула может оказаться громоздкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 13:23 


17/05/13
175
ex-math в сообщении #923084 писал(а):
Общая формула может оказаться громоздкой.

желательно бы общую формулу найти а то вручную записывать и искать закономерности очень муторно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 15:02 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Но там же будут еще члены вида $1/(n_1\ldots n_m)^s$. Их то через первые степени дзета функции не выразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 15:46 


17/05/13
175
Vince Diesel в сообщении #923140 писал(а):
Но там же будут еще члены вида $1/(n_1\ldots n_m)^s$. Их то через первые степени дзета функции не выразить.

перемножте $n_1\ldots n_m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 16:53 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
hassword в сообщении #923155 писал(а):
перемножте $n_1\ldots n_m$

Как выражается через дзета функции линейно $\sum_{1\le n_1<n_2<\infty}\frac1{(n_1n_2)^s}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 17:32 


17/05/13
175
Vince Diesel в сообщении #923171 писал(а):
Как выражается через дзета функции линейно $\sum_{1\le n_1<n_2<\infty}\frac1{(n_1n_2)^s}$?

я не пойму вас,надо всего лишь раскрыть скобки у выражения
$e^{\zeta(s)}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^k,$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 18:59 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Вот при раскрытии скобок у выражения \left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^2,$ та сумма и получится. И линейно (с рациональными коэффициентами) через $\zeta(k)$ она не выражается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента дзета функции Римана.
Сообщение26.10.2014, 19:37 


17/05/13
175
а разве не
$\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^2=a_1 \frac{1}{1^s}+a_2\frac{1}{2^s}+a_3\frac{1}{3^s}+\ldots,$
где $a_i$ это последовательность A000005

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group