Экспонента дзета функции Римана.

[Vince Diesel]

А, ну это ряды уже, в чем проблема тогда? Берете эти разложения, переставляете порядок суммирования... Есть ли основания предполагать, что эти коэффициенты будут выражаться через что-то хорошее?

[hassword]

Vince Diesel в сообщении #923244 писал(а):

А, ну это ряды уже, в чем проблема тогда? Берете эти разложения, переставляете порядок суммирования... Есть ли основания предполагать, что эти коэффициенты будут выражаться через что-то хорошее?

Для начала надо найти последовательности для случая $\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^3$ и т.д
и узнать что за последовательность A000005

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ex-math]

Vince Diesel
Вопрос был -- разложить эту экспоненту в ряд Дирихле. Ни о каких линейных выражениях через дзету речи не было.

hassword в сообщении #923182 писал(а):

$e^{\zeta(s)}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^k,$

Так плохо. Обратите внимание, что я Вам выше писал -- в степень $k$ возводится $\zeta(s)-1$. Это позволяет выразить Ваш коэффициент в виде конечной суммы. Как его посчитать через шары и ячейки -- я Вам тоже написал. Это абсолютно стандартная комбинаторная задача, просто громоздкая и красивого выражения наверняка не получится. Решите -- будут Вам коэффициенты.

[hassword]

ex-math в сообщении #923267 писал(а):

Это позволяет выразить Ваш коэффициент в виде конечной суммы.

а тот чем плох там что сумма ряда расходиться?

[ex-math]

Ничем, если хочется проделать лишнюю работу по упрощению. Вы же так и не попытались найти коэффициенты даже в простом варианте, а хотите еще усложнить задачу.

[hassword]

ex-math в сообщении #923321 писал(а):

Ничем, если хочется проделать лишнюю работу по упрощению. Вы же так и не попытались найти коэффициенты даже в простом варианте, а хотите еще усложнить задачу.

$e^{\zeta(s)}=e+\sum_{k=2}^\infty\frac1{k^s}\left\sum_{n=1}^\infty\frac{P(n-1;F(a_k^1))P(n-1;F(a_k^2))P(n-1;F(a_k^3))...P(n-1;F(a_k^m))}{n!}\right,$,где $a_k^1,a_k^2,a_k^3...a_k^m$ факторизация числа $a_k$(последовательности A000005),F-индекс простого числа (например F(7)=4), $P(n;k)=\tfrac{(n+k)!}{n!k!}$ Как то так.

опять последовательность A000005 появляется

[ex-math]

Вы все-таки сделали по-своему Иначе по $n$ вышла бы конечная сумма, что удобнее с точки зрения вычисления конкретного коэффициента.
Но с точки зрения записи красивого выражения Ваш вариант лучше. $\zeta^k(s)$ --- производящий ряд Дирихле для функции $\tau_k(n)$ (число решений $x_1\ldots x_k=n$ в натуральных числах). Это мультипликативная функция и $\tau_k(p^r)=C_{k+r-1}^r$. Поэтому

$$ e^{\zeta(s)}=e+\sum_{n=2}^\infty\left(1+\sum_{k=2}^\infty\frac{\tau_k(n)}{k!}\right)\frac1{n^s}. $$

-- 27.10.2014, 09:32 --

Называть классическую теоретико-числовую функцию последовательностью А000005 нехорошо.

[hassword]

ex-math в сообщении #923388 писал(а):

Называть классическую теоретико-числовую функцию последовательностью А000005 нехорошо.

Эта функция определяет число положительных делителей натурального числа.