Экспонента дзета функции Римана.

[hassword]

Может кто нибудь сталкивался.Надо найти $\exp(\zeta(s))$?

[ex-math]

Что значит найти? Вычислить в точке? Выразить через что-то?

[hassword]

ex-math в сообщении #923050 писал(а):

Что значит найти?

Представить в виде ряда.

[ex-math]

Слишком обще. Нужен степенной ряд? В окрестности какой точки? Или ряд по каким-то функциям. На самом деле, ничего удобнее и короче исходной записи не будет. Логарифм дзеты -- другое дело, там можно записать ряд по нулям, а здесь все интересные особенности, кроме полюса в единице, стерты. Обычная малоинтересная почти целая функция без нулей.

[hassword]

ex-math в сообщении #923057 писал(а):

Или ряд по каким-то функциям.

можно так?
$\exp(\zeta(s)) =a_1 \frac{1}{1^s}+a_2\frac{1}{2^s}+a_3\frac{1}{3^s}+\ldots,$

[ex-math]

Так можно:

$$ e^{\zeta(s)}=e\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^s}\right)^k, $$

только коэффициенты лень собирать. При $\mathrm{Re}s>1$ все сходится хорошо.

[hassword]

ex-math в сообщении #923070 писал(а):

только коэффициенты лень собирать.

А надо бы собрать.

[ex-math]

Попробуйте сами. Если $n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r}$, то в коэффициент при $n^{-s}$ вклад внесут члены с $k\leqslant \alpha_1+\ldots+\alpha_r$. Для каждого $k$ надо решить комбинаторную задачу: сколькими способами можно по $k$ различимым ячейкам разложить $\alpha_1$ неразличимых шаров цвета $1$, $\alpha_2$ неразличимых шаров цвета $2$ и т.д.
Если нужны только первые коэффициенты, проще посчитать вручную. Общая формула может оказаться громоздкой.

[hassword]

ex-math в сообщении #923084 писал(а):

Общая формула может оказаться громоздкой.

желательно бы общую формулу найти а то вручную записывать и искать закономерности очень муторно.

[Vince Diesel]

Но там же будут еще члены вида $1/(n_1\ldots n_m)^s$. Их то через первые степени дзета функции не выразить.

[hassword]

Vince Diesel в сообщении #923140 писал(а):

Но там же будут еще члены вида $1/(n_1\ldots n_m)^s$. Их то через первые степени дзета функции не выразить.

перемножте $n_1\ldots n_m$

[Vince Diesel]

hassword в сообщении #923155 писал(а):

перемножте $n_1\ldots n_m$

Как выражается через дзета функции линейно $\sum_{1\le n_1<n_2<\infty}\frac1{(n_1n_2)^s}$?

[hassword]

Vince Diesel в сообщении #923171 писал(а):

Как выражается через дзета функции линейно $\sum_{1\le n_1<n_2<\infty}\frac1{(n_1n_2)^s}$?

я не пойму вас,надо всего лишь раскрыть скобки у выражения
$e^{\zeta(s)}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^k,$

[Vince Diesel]

Вот при раскрытии скобок у выражения \left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^2,$ та сумма и получится. И линейно (с рациональными коэффициентами) через $\zeta(k)$ она не выражается.

[hassword]

а разве не
$\left(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\right)^2=a_1 \frac{1}{1^s}+a_2\frac{1}{2^s}+a_3\frac{1}{3^s}+\ldots,$
где $a_i$ это последовательность A000005