Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Уточнение формулы (70):
$D(I(n)) \approx 1/\varphi(k) \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln(u)}-k/\varphi^2(k) \int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln^2(u)}$. (70)

Продолжение

Соотношение (71) доказывается с помощью частного случая неравенства Коши-Буняковского (Шмидта) с использованием формулы (49).

Случайная величина $I(n)$ является суммой взаимно независимых случайных величин $I_i$ с ограниченной дисперсией, т.е. имеет биномиальное распределение.

На основании теоремы Муавра-Лапласа предельным распределением для случайной величины $I(n)$ является нормальное распределение, поэтому при больших $n$ справедливо выражение:
$P(|I(n)-M(I(n))|<C \cdot D(I(n)) \aprrox F(C)$ (72),
где $F(C)$- значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

Подставим в выражение (72) характеристики случайной величины $I(n)$ и получим:
$P(|I(n)-Li(x)/\varphi(k)|< C \sqrt {Li(x)/\varphi(k)-\frac {k}{\varphi^2(k)} \int_{2}^{x}\frac {du}{\ln^2(u)}} \approx F(C)$. (73)

Таким образом, на основании (73) можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность события
$|I(n)-Li(x)/\varphi(k)|< C \sqrt {Li(x)/\varphi(k)-\frac {k}{\varphi^2(k)} \int_{2}^{x}\frac {du}{\ln^2(u)}}$
была сколь угодно близка к 1.

Обобщенная гипотеза Римана эквивалентна формуле:
$|\pi(x,k,l)-Li(x)/\varphi(k)|<C_1 \sqrt {x}\ln(x)$, (74)
где $\pi(x,k,l)$ - количество простых чисел, не превышающее число $x$, принадлежащих арифметической прогрессии $kx+l, (k,l)=1$.

Сравнивая формулы (63), (73) для вероятностных моделей 3 и 4 с формулой (74) видно, что указанные оценки являются более сильными. Однако, как было ранее показано, на основании оценок Литлвуда (стр. 16 Прахар "Распределение простых чисел") вероятностные модели 3 и 4 правомочны.

С другой стороны, формула (74) справедлива для всех $x \geq k$, а формулы (63), (73) справедливы только с определенной вероятностью.

В практике обычно пользуются приближенными вычислениями, поэтому в этих случаях удобно использовать формулы (63), (73).
При вычислениях, в зависимости от требуемой точности, в указанных формулах выбирается постоянная $C$.

Вероятностные модели 2 и 4 являются гипотезами, так как основаны на предположениях.
Вероятностные модели 1 и 3 являются доказанными утверждениями.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Еще немного о вероятностных моделях 1 и 2.

Численные расчеты показывали, по крайней мере при $x<10^9$, что всегда выполняется неравенство $\pi(x)<Li(x)$.
Однако, Литлвуд, как я ранее говорил, доказал теорему 8.4 (стр. 293 Прахар) и показал, что это не всегда так. Но данная теорема не дает ответ, при каком $x$ выполняется $\pi(x)>Li(x)$.
На этот вопрос ответил Скьюз. Он нашел такое $x=\exp\exp\exp\exp(7,705)$ и подтвердил этот факт.
Вероятностные модели 1 и 2 соответствуют указанной теореме Литлвуда и подтверждают, что знак неравенства может меняться.
При предположении выполнении гипотезы Римана эти неравномерности взаимно компенсируются.
Взаимная компенсация также соответствует вероятностным моделям 1 и 2.

Теперь перейдем к анализу вероятностных моделей 3 и 4. Учитывая доказанность вероятностной модели 3 рассмотрим ее подробнее.

Как уже говорилось, формулы (61), (62) и (63) справедливы при отношении $x/k$ стремящемся к бесконечности, т.е. при $k=o(x)$.
Например, при $k=x^a$, где $0<a<1$.

Это соответствует теореме Титчмарш (2.1 стр. 167 Прахар).
Пусть $0<a<1$ и $1 \leq k \leq a^x$.
Тогда существует постоянная $C=C(a)$ такая, что:
$\pi(x,k,l)<Cx/\varphi(k)\ln(x)$ для всех $l, (l,k)=1, 0\leq l< k$
и теореме (2.2 стр. 168 Прахар):
При предположении теоремы 2.1 для каждого $k$ можно найти такие $c_1,c_2$ имели больше, чем $c_1\varphi(k)$ различных значений $l$, для которых:
$\pi(x,k,l)>c_2x/\varphi(k)\ln(x)$.

Рассмотрим подробнее формулу (63).

Количество простых чисел в арифметической прогрессии $kt+l, (k,l)=1$, не превышающих $x$, зависит от значений: $x,k,L$.
Значение $Li(x)/\varphi(k)$ является усредненным значением по всем $l$ и зависит только от $x,k$.
Отклонение $C \sqrt {D(x,k)}$ зависит от точности $(C)$, а также $x,k$.

Если у нас имеются две арифметические прогрессии $kt+l_1,(k,l_1)=1$ и $kt+l_2,(k,l_2)=1$, то на основании формулы (63) справедливо соотношение:
$|\pi(x,k,l_1)-\pi(x,k,l_2)|<C \sqrt {D(x,k)}$. (75)

Можно доказать аналогично приведенной выше теореме Литлвуда (Прахар стр. 295), что:
$|\pi(x,4,1)-\pi(x,4,3)|<C_4 \sqrt {x}\ln\ln\ln(x)/Ln(x)$. (76)

Если сравнить формулы, то видно, что формула (75) имеет более общий характер, чем (76).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Следствия вероятностных моделей 1, 3 о разности между последовательными простыми числами

Если гипотезу Римана считать верной, то при достаточно большом $A>0$ между $x$ и $x+Ax^{1/2}\ln(x)$ (71)
$(x>x_0)$ всегда лежит по крайней мере одно простое число (стр. 364 Прахар "Распределение простых чисел").

Аналогично из доказанной вероятностной модели 1 вытекает, что между $x$ и $x+C \sqrt { Li(x)-Li^2(x)/x}$ (72) $(x>x_1)$
с вероятностью $F(C)$ (значение функции стандартного нормального распределения в точке С) всегда лежит по крайней мере одно простое число.

Обратите внимание, что для верхней границы интервала выполняется условие:
$x+A x^{1/2}\ln(x)>x+C \sqrt { Li(x)-Li^2(x)/x$ (73).
Таким образом, условие (72) сильнее условия (71).

Напомню, что в гипотезе Крамера предполагается, что при достоточно большом $x$ и подходящем $B>0$ между $x$ и $x+B \ln^2(x)$ (74)
всегда лежат простые числа, т.е. выполняется: $p_{n+1}-p_n<B \ln^2 p_n}$.

С учетом условия (74) выполняется неравенство:
$x+A x^{1/2}\ln(x)>x+C \sqrt { Li(x)-Li^2(x)/x}>x+B \ln^2(x)$. (75)
Таким образом, условие (74) сильнее (73), но является гипотезой.

На основании доказанной вероятностной модели 3 при фиксированном значении $k$ при достоточно большом $x$ и подходящем $D>0$ между $x$ и $x+D \sqrt {Li(x)/k-kLi^2(x)/\varphi^2(x) x}$ (76)
с вероятностью $F(D)$ лежит по крайней мере одно простое число, принадлежащее арифметической прогрессии $kn+l,(k,l)=1$.

Условие (76) сильнее, соответствующего условия при предположении справедливости расширенной гипотезы Римана.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Известна гипотеза Лежандра: между квадратами последовательных натуральных чисел находится хотя бы одно простое число.

Ранее в соответствующей теме об этой гипотезе я писал, что гипотеза Лежандра будет доказана, если будет показано, что между некоторым большим $x$ и $x+\sqrt {x}$ всегда находится хотя бы одно простое число.

Покажем это, исходя из вероятностной модели 1 и ее следствия - соотношения (72).
Таким образом надо доказать, что $\sqrt { Li(x)-Li^2(x)/x}<\sqrt {x}$. (77)

Сначала докажем лемму.
Лемма 1.
Неравенство $Li(x)<x$ выполняется при $x>e^2$.

Доказательство
Известно, что $Li(x)=x/\ln(x)+C/\ln^2(x)=x(1/\ln(x)+C/ln^2(x))$, (78) где $1<C<2$.

При $x \geq e^2$ и $1<C<2$ выполняется: $1/\ln(x)+C/\ln^2(x)<1$. (79)

Следовательно при $x>e^2$ на основании (78) и (79) выполняется: $Li(x)=x(1/\ln(x)+C/\ln^2(x))<x$ ч.т.д.

На основании леммы 1 при $x>e^2$ следует (77): $\sqrt { Li(x)-Li^2(x)/x}<\sqrt { Li(x)}<\sqrt {x}$.

Таким образом, можно утверждать, что гипотеза Лежандра справедлива с вероятностью сколь угодно близкой к 1.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Теперь рассмотрим приложения вероятностной модели 3.

На основании (63) получим:
$max_{(k,l)=1} |I(x,k)-Li(x)/\varphi(k)|<C_1 \sqrt {Li(x)/\varphi(k) - k Li^2(x)/\varphi^2 x}<C_1\sqrt {Li(x)/\varphi(k) }$, (80)
где максимум берется по всем $l$ взаимно простых с $k$.

Согласно гипотезе Эллиота-Халберстамма для всех $0<a<1$ и всех $A>0$ найдется $C>0$, что выполняется:
$\sum_{1 \leq k \leq x^a} {max_{(k,l)=1}|\pi(x,k,l)-Li(x)/\varphi(k)| \leq C x/\ln^A(x)$ (81) для всех $x>2$.

Эта гипотеза была доказана Бомбьери и Виноградовым для $a<1/2$.

Попробую доказать эту гипотезу для всех $0<a<1$, т.е. на основании (80) и (81) надо доказать, что:
$C_1\sum_{1 \leq k \leq x^a} \sqrt {Li(x)/ \varphi(k)} \leq Cx/\ln^A(x)$. (82)

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Учитывая, что $Li(x)=x/\ln(x)+C_2 x/\ln^2(x)$ и (82) получаем:

$C_1\sum_{1 \leq k \leq x^a} \sqrt {Li(x)/ \varphi(k)} =C_1 \sqrt {x/\ln(x)+C_2 x/\ln^2(x)} \sum_{1 \leq k \leq x^a} {1/\sqrt {\varphi(k)}}$. (83)

На основании теоремы Ландау (5.1 стр. 32 Прахар "Распределение простых чисел"):
$\varphi(n)>C_3 n/\ln \ln(n)$ (84) при $n>2$.

Следовательно на основании (84) получаем:
$1/\sqrt {\varphi(n)}<\sqrt {\ln\ln(n)/C_3 n}$ (85) при $n>2$.

Поэтому на основании (85):
$\sum_{1 \leq k \leq x^a} {1/\sqrt {\varphi(k)}}<2+1/ \sqrt {C_3} \sum_{2< k \leq x^a} {\sqrt {\ln\ln(k)/k}}<2+1/ \sqrt {C_3} \sqrt {\ln\ln(x^a)} \sum_{2< k \leq x^a}{1/\sqrt{k}}$, (85)
так как $\varphi(1)=\varphi(2)=1$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

На основании теоремы о частичных суммах 1.5 (стр. 422 Прахар "Распределение простых чисел") на интервале $3 \leq t \leq y$ получаем:

$\sum_{3 \leq k \leq y} {1/\sqrt {k}}=\int_{3}^{y}\frac{dt}{t^{1/2}}-1/2\int_{3}^{y}(t-|t|)\frac{dt}{t^{3/2}}+1/\sqrt {3}-(y-|y|)/\sqrt {y}=$

$=2\sqrt{y}-2\sqrt {3}-1/2\int_{3}^{y}(t-|t|)\frac{dt}{t^{3/2}}+1/\sqrt {3}-(y-|y|)/\sqrt {y}=O(\sqrt{y})$, (86)

так как:
$|1/2\int_{3}^{y}(t-|t|)\frac{dt}{t^{3/2}}| \leq 1/2 \int_{3}^{y}\frac{dt}{t^{1/2}}=O(\sqrt{y})$.

Поэтому:
$\sum_{3 \leq k \leq x^a} {1/\sqrt {k}} \leq C_4 x^{a/2}$. (87)

Продолжение следует.

[Deggial]

vicvolf в сообщении #925770 писал(а):

На основании теоремы о частичных суммах 1.5 (стр. 422 Прахар "Распределение простых чисел") на интервале $3 \leq t \leq y$ получаем:

$\sum_{3 \leq k \leq y} {1/\sqrt {k}}=\int_{3}^{y}\frac{dt}{t^{1/2}}-1/2\int_{3}^{y}(t-|t|)\frac{dt}{t^{3/2}}+1/\sqrt {3}-(y-|y|)/\sqrt {y}=$

$=2\sqrt{y}-2\sqrt {3}-1/2\int_{3}^{y}(t-|t|)\frac{dt}{t^{3/2}}+1/\sqrt {3}-(y-|y|)/\sqrt {y}=O(\sqrt{y})$, (86)

$\sum\limits_{3 \leq k \leq y} \frac{1}{\sqrt{k}}=O(\int\limits_3^y\frac{dt}{\sqrt{t}})=O(\sqrt{y})$

[vicvolf]

Deggial в сообщении #926076 писал(а):

$\sum\limits_{3 \leq k \leq y} \frac{1}{\sqrt{k}}=O(\int\limits_3^y\frac{dt}{\sqrt{t}})=O(\sqrt{y})$

Действительно утверждение $\sum\limits_{3 \leq k \leq y} f(k)=O(\int\limits_3^y f(t)dt)$ справедливо для большого класса функций $f(k)$, но не для всех. Например, оно не справедливо для функции $f(k)=\frac{1}{k-3,5}$.
Поэтому его надо доказывать в каждом отдельном случае.


Продолжение

Подставим оценку (87) в (85):

$\sum_{1 \leq k \leq x^a} {1/\sqrt {\varphi(k)}}<2+C_4 x^{a/2}/ \sqrt {C_3} \sqrt {\ln\ln(x^a)}$. (88)

Поэтому на основании (83) получаем оценку:

$$C_1\sum_{1 \leq k \leq x^a} \sqrt {Li(x)/ \varphi(k)} < C_1 \sqrt {x/\ln(x)+C_2 x/\ln^2(x)} \cdot (2+C_4 x^{a/2}/ \sqrt {C_3} \sqrt {\ln(a)+\ln\ln(x)}),(89)$$

где $0<a<1$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Из (89) при $x>x_1$ справедлива следующая оценка:
$C_1 \sum_{1 \leq k \leq x^a} \sqrt {Li(x)/ \varphi(k)} < C \frac {x^{(a+1)/2} (\ln \ln(x))^{1/2}} {\ln(x)^{1/2}} < C x^{(a+1)/2}$, (90) где $0<a<1$.

При $x>x_2$ справедливо неравенство:
$x^{(1-a)/2}>\ln^A(x)$, (91) где любое $A>0$ и $0<a<1$.

Поэтому при $x>x_2$ выполняется:
$Cx^{(a+1)/2}<C x/\ln^A(x)$, (92) где $C>0$.

На основании (80), (90) и (92) при $x > max (x_1,x_2)$ получаем оценку:
$max_{(k,l)=1}|I(x,k)-Li(x)/\varphi(k)}|<C_1 \sum_{1 \leq k \leq x^a} \sqrt {Li(x)/ \varphi(k)} <C x/\ln^A(x)$. (93) ч.т.д.

Таким образом, можно утверждать, что гипотеза Эллиота-Халберстамма справедлива для всех $0<a<1$ с вероятностью сколь угодно близкой к 1.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Вернусь к вопросу обоснования вероятностных моделей 1 и 3.

В моделях 1 и 3 существует вероятность выбрать один и тот же шар несколько раз (сообщения от 28.09.14 и 16.10.14).

В реальной ситуации, когда полсчитывается количество простых чисел, принадлежащих соответственно натуральному ряду или арифметической прогрессии, не превышающих натуральное $x$, такой ситуации не бывает.

Вероятностные модели 2 и 4 не имеют указанного недостатка.

Как было показано выше (сообщения от 06.10.14 и 21.10.14) дисперсия отклонения количества простых чисел от $Li(x)$ и $Li(x)/\varphi (k)$ соответственно в вероятностных моделях 2 и 4 меньше, чем в вероятностных моделях 1 и 3, что подтверждает справедливость оценок, сделанных с использованием указанных моделей.

Кроме того, правомочность вероятностных моделей 1 и 3 подтверждается оценкой снизу для отклонения количества простых чисел от $Li(x)$, сделанной Литлвудом (сообщения от 07.10.14 и 21.10.14).

[vicvolf]

Продолжу тему об обосновании вероятностного подхода к распределению простых чисел.

Количество простых чисел, принадлежащих какой-либо целочисленной, положительной инъективной последовательности $f(n)$ на интервале натурального ряда $[A,B]$ - $\pi(f,A,B)$ является вполне определенной не случайной величиной.

Плотность целочисленной, положительной инъективной последовательности $f(n)$ на интервале натурального ряда $[A,B]$ -
$P(f,A,B)=\pi(f,A,B)/B-A)$ также является вполне определенной не случайной величиной.

С другой стороны, $P(f,A,B)$, как уже говорилось ранее, является вероятностной мерой.
Таким образом, указанная плотность последовательности $P(f,A,B)$, численно равна вероятности того, что на интервале $[A,B]$ находится хотя бы один член последовательности $f(n)$.

Возьмем в качестве интервала $[A,B]$ интервал $[1,x]$ ($x$ - натуральное число) и разобъем его на подинтервалы: $[1,2),[2,3),...[x,x+1)$ единичной длины.

В этом случае плотность на $i$ -м интервале будет равна:
$P(f,i,i+1)=\pi(f,i,i+1)$, т.е равна количеству чисел, принадлежащих последовательности, на единичном интервале.

Понятно, что $\pi(f,i,i+1)=1$, если $i$ принадлежит последовательности и $\pi(f,i,i+1)=0$, если $i$ не принадлежит последовательности.

В этом случае количество натуральных чисел, являющихся членами последовательности а интервале $[1,x]$ равно:
$\pi(f,1,x)=\sum_{i=1}^{x} \pi(f,i,i+1)=\sum_{i=1}^{x} P(f,i,i+1)=\sum_{i=1}^{x} p_i$,
где $p_i$ - вероятность, что натуральное число $i$ является членом последовательности.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Сначала сделаю исправление предыдущего сообщения.

Количество натуральных чисел, принадлежащих какой-либо целочисленной, положительной инъективной последовательности на интервале натурального ряда $[A,B]$ является вполне определенной не случайной величиной.

А теперь продолжу.

В указанном вероятностном пространстве целочисленных инъективных последовательностей $f(n)$ на интервале натурального ряда $[1,x]$ c мерой $P(f,1,x)$ введем случайную величину $I_i$ успешности события.
Значение $I_i=1$, если натуральное число $i$ принадлежит $f(n)$ и значение $I_i=0$, если натуральное число $i$ не принадлежит $f(n)$.

Математическое ожидание случайной величины $I_i$ равно:
$M(I_i)=p_i \cdot 1+ (1-P_i) \cdot 0=p_i$.

Рассмотрим случайную величину $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$.

Математическое ожидание случайной величины $I(x)$ равно:
$M(I(x))=M(\sum_{i=1}^{x} {I_i})=\sum_{i=1}^{x}{M(I_i)}=\sum_{i=1}^{x}{p_i}=\pi(f,1,x)$.

Таким образом, мы видим, что математическое ожидание, введенной на указанном выше вероятностном пространстве, случайной величины $I(x)$, численно равно количеству натуральных чисел на интервале $[1,x]$, принадлежащих последовательности $f(n)$.

Дисперсия случайной величины $I_i$ равна:
$D(I_i)=(1-p_i)^2 p_i +(p_i)^2(1-p_i)=p_i-(p_i)^2$.

Так как случайные величины $I_i$ являются независимыми, то дисперсия случайной величины $I(x)$ равна:
$D(I(x))=\sum_{i=1}^{x}{D(I_i)}=\sum_{i=1}^{x}{p_i}-\sum_{i=1}^{x}{(p_i)^2}$.

Учитывая, что случайная величина $I(x)$ имеет биномиальное распределение, то на основании теоремы Муавра-Лапласа предельное ее распределение является нормальным.
Поэтому выполняется соотношение:

$\lim_{x \to \infty}{P(|I(x)-\sum_{i=1}^{x} {p_i}|<C \sqrt {\sum_{i=1}^{x}{p_i}-\sum_{i=1}^{x}{(p_i)^2}})=F(C)$,
где $F(C)$- значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

В работе Й. Кибилюс "Вероятностные методы в теории чисел", 220 стр, Вильнюс, 1962. изучается распределение значений мультипликативных и аддитивных действительных арифметических функций.

Функция $\pi(f,1,x)$ хотя и является действительной (даже целочисленной) арифметической функцией, но в работе Й. Кибилюса не рассматривается, так как не является ни аддитивной, ни мультипликативной.
Хотя в главе 2, посвященной арифметическим функциям и случайным величинам дается пример другой действительной арифметической функции, определенной на таком же, как у нас, вероятностном пространстве, которую, как считает автор, можно рассматривать как случайную величину.

Действительно, по определению случайной величиной называется функция отображающая вероятностное пространство на множество действительных чисел.
Поэтому по отношению к нашему вероятностному пространству действительную (целочисленную) арифметическую функцию $\pi(f,1,x)$ можно рассматривать, как случайную величину $I(x)$.

Поэтому приведенное выше соотношение можно записать в виде:

$\lim_{x \to \infty}{P(|\pi(f,1,x)-\sum_{i=1}^{x} {p_i}|<C \sqrt {\sum_{i=1}^{x}{p_i}-\sum_{i=1}^{x}{(p_i)^2}})=F(C)$, (94)
где $F(C)$- значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Последовательность простых чисел является целочисленной, положительной, инъективной. Поэтому для нее справедлива указанная вероятностная мера.

Как было раннее показано в вероятностной модели 2 математическое ожидание для последовательности простых чисел на основании (39) равно:

$M(I(x))=\sum_{i = 1}^{x}{p_i}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $.

Дисперсия случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (40) равна:

$$D(I(x))= \sum_{i = 1}^{x}{p_i-\sum_{i = 1}^{x}(p_i)^2}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 1}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $.

Поэтому для больших $x$ на основании (41) и (94) получаем соотношение:

$P(|\pi(x)-\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}|<C\sqrt{\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}) \approx F(C)$, (95)
где $F(C)$ - значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

В действительности значение $\pi(x)$ имеет отклонение от величины $Li(x)=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}$, которое имеет как отрицательное, так и положительное значение. При этом было доказательно установлено, что эти отклонения взаимно погашаются (см. Прахар "Распределение простых чисел"). Это вполне соответствует полученным результатам о стандартном нормальном распределении величины данного отклонения.

Так, что название - "распределение простых чисел", из терминологии теории вероятности, имеет под собой веские основания.