Доказать равенство с рядами

[SlayZar]

Необходимо доказать (или опровергнуть) равенство
$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n}{\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n} = 6 + 3\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)x^n$
при $\left|x\right|<1$
Пробовал исходить из того, что при таких значений $x$ данные ряды сходятся абсолютно и мы можем воспользоваться теоремой о том, что ряд, составленный из всех произведений, взятых в каком угодно порядке двух абсолютно сходящихся рядов, также сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.
Но эта теорема все равно не сильно мне помогла, помогите, пожалуйста, от чего тут лучше оттолкнуться?

[Otta]

Суммы всех рядов считаются явно.

[ewert]

Для начала написать, чему равен знаменатель.

(суммы всех рядов считать, естественно, не надо)

[Otta]

(Оффтоп)

:mrgreen: Мне было бы быстрее сосчитать, чиста устно - полтора действия. Но не настаиваю. ))
Правда, тут ТС может быть скован недостатком сведений, например. По объективным причинам.

[Mihr]

Попробуйте рассмотреть эти ряды как производные аналитических функций. Думаю, что-то получится.
Ряд в числителе дроби как третью производную, а ряд в правой части равенства как вторую производную.

[SlayZar]

ewert в сообщении #922626 писал(а):

Для начала написать, чему равен знаменатель.

(суммы всех рядов считать, естественно, не надо)

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x^2+...+x^n$

Это вроде бы получается сумма геометрической прогрессии со знаменателем $q=x$
$b_1=1$
$b_2=x$
...

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем $S_n=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-x}$ при $n \to \infty$,

Значит, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$
но с остальными рядами так легко не получается..

[Otta]

А дифференцировать степенные ряды Вас не учили?

[SlayZar]

Otta в сообщении #922634 писал(а):

А дифференцировать степенные ряды Вас не учили?

Просто я не до конца понимаю, что нам надо сделать... Мы должны представить ряд (в числителе например) как третью производную некоторой функции, численно посчитать его, а потом проинтегрировать, так?

[Otta]

Способом ewert тоже довольно мигом получается.

[SlayZar]

Otta в сообщении #922639 писал(а):

Способом ewert тоже довольно мигом получается.

Ну, а если не считать ряды в числителе и справа, тогда как мы докажем равенство? Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

[Otta]

SlayZar в сообщении #922641 писал(а):

Ну, а если не считать ряды в числителе и справа, тогда как мы докажем равенство? Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

Преобразовать дробь с учетом уже полученного и приводить подобные при одинаковых степенях.
Не задавайте странных вопросов ))) там нет простора - что делать теперь. Как еще иначе доказывать равенство двух рядов? в левой части и в правой?

SlayZar в сообщении #922638 писал(а):

Просто я не до конца понимаю, что нам надо сделать...

Надо было сперва - самому, кстати, - увидеть, что каждое слагаемое есть производная порядка три - чего? - написать, а там видно будет. Возьмите и посчитайте для интересу
$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n\right)'=$

[ewert]

SlayZar в сообщении #922641 писал(а):

Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

А дальше мы должны числитель на него тупо разделить. Делить на дробь умеете?...

[SlayZar]

ewert в сообщении #922644 писал(а):

SlayZar в сообщении #922641 писал(а):

Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

А дальше мы должны числитель на него тупо разделить. Делить на дробь умеете?...

Да, получилось, получаем
$(1-x) \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n = $
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^\(n+1\) =$
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)(n+2)x^n =$
$= 6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)(n+2)x^n =$
$= 6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n ((n+1)(n+2)(n+3) - n(n+1)(n+2)) =$
$= 6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n (3n^2+9n+6) = 6 + 3 \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)x^n $
ЧТД

Спасибо за помощь)

[ewert]

Конечно. Только вот предпоследние скобки Вы напрасно раскрывали -- естественно, надо было, наоборот, выносить за них.

[SlayZar]

ewert в сообщении #922685 писал(а):

Конечно. Только вот предпоследние скобки Вы напрасно раскрывали -- естественно, надо было, наоборот, выносить за них.

Ну да, действительно, так еще проще получается.