2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать равенство с рядами
Сообщение24.10.2014, 17:42 
Необходимо доказать (или опровергнуть) равенство
$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n}{\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n} = 6 + 3\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)x^n$
при $\left|x\right|<1$
Пробовал исходить из того, что при таких значений $x$ данные ряды сходятся абсолютно и мы можем воспользоваться теоремой о том, что ряд, составленный из всех произведений, взятых в каком угодно порядке двух абсолютно сходящихся рядов, также сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.
Но эта теорема все равно не сильно мне помогла, помогите, пожалуйста, от чего тут лучше оттолкнуться?

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 17:47 
Суммы всех рядов считаются явно.

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 17:49 
Для начала написать, чему равен знаменатель.

(суммы всех рядов считать, естественно, не надо)

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 17:52 

(Оффтоп)

:mrgreen: Мне было бы быстрее сосчитать, чиста устно - полтора действия. Но не настаиваю. ))
Правда, тут ТС может быть скован недостатком сведений, например. По объективным причинам.

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 17:57 
Аватара пользователя
Попробуйте рассмотреть эти ряды как производные аналитических функций. Думаю, что-то получится.
Ряд в числителе дроби как третью производную, а ряд в правой части равенства как вторую производную.

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:01 
ewert в сообщении #922626 писал(а):
Для начала написать, чему равен знаменатель.

(суммы всех рядов считать, естественно, не надо)


$\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x^2+...+x^n$

Это вроде бы получается сумма геометрической прогрессии со знаменателем $q=x$
$b_1=1$
$b_2=x$
...

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем $S_n=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-x}$ при $n \to \infty$,

Значит, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$
но с остальными рядами так легко не получается..

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:02 
А дифференцировать степенные ряды Вас не учили?

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:07 
Otta в сообщении #922634 писал(а):
А дифференцировать степенные ряды Вас не учили?

Просто я не до конца понимаю, что нам надо сделать... Мы должны представить ряд (в числителе например) как третью производную некоторой функции, численно посчитать его, а потом проинтегрировать, так?

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:08 
Способом ewert тоже довольно мигом получается.

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:12 
Otta в сообщении #922639 писал(а):
Способом ewert тоже довольно мигом получается.

Ну, а если не считать ряды в числителе и справа, тогда как мы докажем равенство? Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:15 
SlayZar в сообщении #922641 писал(а):
Ну, а если не считать ряды в числителе и справа, тогда как мы докажем равенство? Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

Преобразовать дробь с учетом уже полученного и приводить подобные при одинаковых степенях.
Не задавайте странных вопросов ))) там нет простора - что делать теперь. Как еще иначе доказывать равенство двух рядов? в левой части и в правой?
SlayZar в сообщении #922638 писал(а):
Просто я не до конца понимаю, что нам надо сделать...

Надо было сперва - самому, кстати, - увидеть, что каждое слагаемое есть производная порядка три - чего? - написать, а там видно будет. Возьмите и посчитайте для интересу
$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n\right)'=$

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:17 
SlayZar в сообщении #922641 писал(а):
Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

А дальше мы должны числитель на него тупо разделить. Делить на дробь умеете?...

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 18:56 
ewert в сообщении #922644 писал(а):
SlayZar в сообщении #922641 писал(а):
Ряд в знаменателе я нашел, а дальше что мы должны сделать?

А дальше мы должны числитель на него тупо разделить. Делить на дробь умеете?...

Да, получилось, получаем
$(1-x) \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n = $
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^\(n+1\) =$
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)(n+2)x^n =$
$= 6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3)x^n - \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)(n+2)x^n =$
$= 6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n ((n+1)(n+2)(n+3) - n(n+1)(n+2)) =$
$=  6 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n (3n^2+9n+6) =  6 + 3 \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2)x^n $
ЧТД

Спасибо за помощь)

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 20:53 
Конечно. Только вот предпоследние скобки Вы напрасно раскрывали -- естественно, надо было, наоборот, выносить за них.

 
 
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение24.10.2014, 20:58 
ewert в сообщении #922685 писал(а):
Конечно. Только вот предпоследние скобки Вы напрасно раскрывали -- естественно, надо было, наоборот, выносить за них.

Ну да, действительно, так еще проще получается.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group