Вопрос по книге Коен Таннуджи квант. механика

[illuminates]

На странице 227 (главы 2 дополнения С) встречается фраза вида "по определению преобразованным оператором А' оператора А будем называть такой оператор, что
$<v'_i \mid A' \mid v'_j> = <v_i \mid A \mid v_j>$ "

Не сильно понятно, это справедливо лишь для тождественных преобразований? $v$ - это собственный базис оператора $A$, и соответственно $v'$ - это собственный базис оператора $A'$?. И вообще, если мы взяли матрицу, обложили её с двух сторон матрицами, к примеру, поворота, то в итоговой матрицы соответствующие элементы не обязаны быть равны элементам матрицы первоначальной. Где я ошибаюсь?

[fizeg]

Надо же. В первый раз вообще слышу о таком учебнике. Так что может выбиваться из логики его изложения. Мне так не очень понятен такой путь определять преобразованный оператор.

Подумайте вот о чем. Допустим у нас есть оператор преобразования $U$, т.е. $|v\rangle\mapsto U|v\rangle$. Тогда
$A|v\rangle \mapsto UA |v\rangle = (UAU^{-1})U|v\rangle$
Отсюда можно определить, что оператор преобразовывается как
$A\mapsto UAU^{-1}$
и все будет согласованно

Бра-вектор будет преобразовываться с помощью сопряженного оператора
$\langle u|\mapsto \langle u| U^\dagger$
и скалярное преобразование вообще говоря не сохраняется
$\langle u|A|v\rangle\mapsto \langle u| U^\dagger U A|v\rangle$
Оно сохраняется в особом случае, когда преобразование унитарное, т.е. $U^\dagger U=1$.

На языке матриц, вы меняете матрицу, но также должны преобразовать строчки и столбики векторов. В особом случае, когда матрица преобразования унитарная, эти преобразования друг друга компенсируют и это происходит для любых векторов, не только собственных.

-- 23.10.2014, 20:00 --

В моем изложении, конечно есть подводный камень - как я определяю скалярное произведение на преобразованных векторах. Т.е. я сразу считаю $U$ переводящим вектора в то же пространство. Можно (и это более общая ситуация) действительно вводить другое пространство со своим скалярным произведением. Судя по всему в том учебнике поступают именно так.

-- 23.10.2014, 20:03 --

В моем изложении тогда нужно только добавить правильное понимание перехода $\langle u|\mapsto \langle u|U^\dagger$. В том, что это значит и скрывается определение скалярного произведения в новом пространстве

[Cos(x-pi/2)]

illuminates

Определение (27) "преобразования оператора" в книге на стр. 227, о котором вы спрашиваете, справедливо для любых унитарных преобразований и такое определение эквивалентно более привычному определению, указанному fizeg-ом. Пояснить это можно следующей аналогией.

Унитарное преобразование векторов состояний в КМ математически аналогично поворотам векторов в обычной наглядной геометрии (например, в двумерной: в евклидовой геометрии на плоскости). Заметьте, что поворот вектора, при котором изменяются компоненты вектора (т.е. изменяются числовые значения его проекций на базисные орты) можно описывать двояко: 1) считать, что повернулся сам вектор относительно неизменных базисных ортов; 2) либо считать, что повернулись в обратном направлении орты, а вектор оставался неизменным. В обоих вариантах получим одно и то же изменение численных значений компонент вектора.

Если же повернуть как единое целое и вектор и орты, то численные значения компонент вектора не изменятся; этот факт тоже можно принять за определение преобразования. Аналогично обстоит дело и с компонентами операторов, т.е. с их матричными элементами.

Так же обстоит дело и в формуле (27): после унитарного преобразования $U$ одновременно базисных векторов состояния $|v\rangle\mapsto |v' \rangle = U|v\rangle$ и оператора $A \mapsto A'$ новые числовые значения матричных элементов остаются неизменными. Эту формулу можно записать через имена старых базисных векторов так:

$\langle Uv_i| A' | Uv_j \rangle = \langle v_i |A |v_j \rangle$

или, переместив самый левый символ $U$ направо с помощью эрмитова сопряжения, так:

$\langle v_i| U^\dagger A' U| v_j \rangle = \langle v_i |A |v_j \rangle$

Это как раз формула (28) в книге, но только в книге опечатка - там забыли убрать тильду над вектором состояния в левой стороне равенства. Дальше там всё поясняется: поскольку такое равенство верно для всех матричных элементов (индексы $i$ и $j$ пробегают все свои возможные значения), то можно утверждать, что равны сами операторы, находящиеся в базисных "обкладках":

$U^\dagger A' U = A$

Отсюда следует, что $A'=UAU^\dagger$, поскольку в случае унитарного преобразования имеем $U^\dagger = U^{-1}$. В итоге, рассмотренное определение преобразования оператора совпадает (в случае унитарных преобразований) с общим определением "подобия" операторов, указанным в посте выше:

$A \mapsto A'= UAU^{-1}$

[fizeg]

Меня кстати сильно смутили закрывающие кавычки - я подумал что это штрихи, которые обозначают, что используется другое скалярное произведение

[Munin]

fizeg
Учебник Коэн-Таннуджи приятен разобранными примерами (в чём-то, может быть, с уклоном в химию). Базово-идейную часть я в нём не вычитывал.

[illuminates]

Спасибо за ответы. Всё понятно. Но тут я решил взять какой нибудь пример и чего-то не получается.
Пусть унитарная матрица будет матрицей Паули. Возьмём какую нибудь матрицу и проверим, что её компоненты не изменяются в новом базисе при действии матрицей Паули.

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} $$

Видим что исходная матрица равна преобразованной в точности до транспонирования. А такого быть не должно. В чём тут дело?


И ещё. Пользуясь случаем. Можно у вас спросить? (если нужно то новую тему могу создать) Где можно почитать про пространство и сопряженное пространство (пространство функционалов)? Что-бы было написано доходчиво. Быть может, для физиков. Быть может, даже физиками. А то знаете, мне начало казаться это каким-то тайным знанием - у какого препода не спрашиваю сказать толком не может или вообще не может (не исключаю что плохо спрашиваю).

[fizeg]

Т.е. как это не может быть? Эта матрица Паули, что делает? Просто переставляет базисные вектора. Конечно тогда лбая матрица траспонируется.

Про сопряженные пространства может попытаюсь объяснить. Это обобщение векторов-столбиков и векторов-столбцов. Сейчас, с телефона, неудобно

[Cos(x-pi/2)]

illuminates

Вы проверку не довели до конца, так как перемноженные вами все три матрицы относятся к одному и тому же базису - к исходному. Т.е. пока вы проверили лишь формулу $A'= UAU^{-1}$, согласно которой исходная матрица $A$ превращается в новую (т.е. в преобразованную) матрицу $A'$. В терминах матричных элементов проверенная вами формула имеет вид:

$\langle v_i|A'| v_j \rangle = \langle v_i |UAU^{-1} |v_j \rangle$

и здесь везде исходные базисные векторы стоят. (Если бы эта формула не давала изменения матрицы, то это было бы плохо, т.к. речь-то идёт именно о преобразовании оператора, т.е. его матрица в исходном базисе должна как-то менять свой вид в результате преобразования.)

А надо проверить вот какую формулу (обратите внимание на штрихи, где они есть, и где их нет):

$\langle v'_i|A'| v'_j \rangle = \langle v_i|A| v_j \rangle$

Для этого давайте сначала выпишем новые базисные векторы в виде столбцов, по формуле $| v'_j \rangle = U| v_j \rangle $ , где исходные базисные векторы (без штрихов) это столбцы с числами (1, 0) и (0, 1):

$| v'_1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

$| v'_2 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

И вот теперь найдём матричный элемент, например, с номерами 12 для нового оператора $A'$ в новом базисе (чтобы сравнить его с матричным элементом с номерами 12 старого оператора $A$ в исходном базисе; этот старый матричный элемент в вашем примере равен 3):

$\langle v'_1|A'| v'_2\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 3 $

ОК, получилось 3, как и надо. Аналогично можете проверить, что и остальные матричные элементы штрихованного оператора $A'$ в новом базисе совпадают должным образом c матричными элементами нештрихованного оператора $A$ в исходном базисе.


P.S.
Если быть совсем педантичным, то правильнее левую "обкладку", т.е. бра-вектор $\langle v'_1|$, записывать в виде строки:

$\langle v'_1|A'| v'_2\rangle = \, [ \, 0 \, \, 1 \,] \, \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 3$

[illuminates]

Цитата:

где исходные базисные векторы (без штрихов) это столбцы с числами (1, 0) и (0, 1)

Эти столбцы, Вы откуда взяли? Я понимаю что по формуле $\langle v_i|A| v_j \rangle$ с помощью этих векторов как раз получаются элементы матрицы в непреобразованном базисе. Но как они находятся в общем виде? (я глянул теорию матриц Гантмахера и не смог найти ответ на вопрос. Хотя всё же чувствую свою вену - плохо знаю теорию матриц.)

[Cos(x-pi/2)]

illuminates
Эти столбцы всегда автоматом получаются для базисных векторов в базисе из этих же самых базисных векторов. Вот смотрите, такое рассуждение. По базисным векторам $| v_1 \rangle$ и $| v_2 \rangle$ , согласно определению понятия "базисные векторы", можно разложить любой вектор $| \psi \rangle$ в данном пространстве состояний:

$| \psi \rangle = \psi_1 | v_1 \rangle + \psi_2 | v_2 \rangle $

На языке столбцов это означает, что вектор $| \psi \rangle$ представляется в данном базисе столбцом чисел

$ | \psi \rangle = \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix} $

Ну, а раз любой вектор можно разложить, то и сам базисный вектор $| v_1 \rangle$ можно так же разложить; и этим разложением является очевидное равенство:

$| v_1 \rangle = 1 \, | v_1 \rangle + 0 \, | v_2 \rangle $

Значит, в терминах столбцов первый базисный вектор представляется столбцом

$| v_1 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

И, ясен пень, из аналогичного очевидного равенства для второго базисного вектора

$| v_2 \rangle = 0 \, | v_1 \rangle + 1 \, | v_2 \rangle $

аналогично следует представление в виде столбца

$| v_2 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

(И аналогично это дело обощается на случай многомерных пространств состояний.) Таким образом, здесь трудно воздержаться от традиционной в подобных случаях реплики: "Элементарно, Ватсон!"

[illuminates]

Cos(x-pi/2)
Возможно я неправильно задал вопрос. Извиняюсь. Попробую еще раз. Бывают ли такие ситуации, где мы взяли матрицу, а она записана не в ортогональном базисе, а черт знает каком? Если да, то как понять в каком?

[Cos(x-pi/2)]

illuminates
Полагаю, такая ситуация не должна встретиться. Что значит, "взяли матрицу в чёрт знает каком базисе"? На базаре у барыги чтоль её купили, или на дороге подобрали?

Вообще, первичным является понятие "оператор" - как некий рецепт $A$ (алгоритм, список действий, механизм) для преобразования любого вектора. В конкретной задаче, если только понятие "оператор" в ней оказывается полезным, нужный оператор будет каким-то естественным образом задан ещё до выбора всякого базиса.

Затем мы сами выберем удобный для решения задачи базис $| v_i \rangle$ , и сумеем применить заданный оператор к базисным векторам, получив тем самым из них другие векторы:

$| w_i \rangle = A\, | v_i \rangle$

Кроме того, в конкретной задаче заранее будет задано и некое правило скалярного произведения векторов. Поэтому мы, в принципе, должны суметь скалярно перемножить эти векторы $| w_i \rangle$ с базисными векторами, получив тем самым числовые значения матричных элементов оператора в данном базисе:

$\langle v_j | w_i \rangle = \langle v_j | A| v_i \rangle$

Вот так появляется матрица оператора; при этом мы знаем, к какому базису она относится. Если же по ходу решения задачи окажется удобным перейти в другой базис, то вот тогда и пригодятся формулы "преобразования оператора". Бывает и так, что свойства оператора легче задать сразу в конкретном базисе, а решать дальнейшую задачу оказывается удобнее в другом базисе - тогда тоже пойдут в дело формулы "преобразования оператора".

Самые удобные базисы - ортонормированные. Если же взять не ортонормированный базис, то даже матрица оператора тождественного преобразования (такой оператор $A$ на любой вектор действует просто как умножение на число $1$ ) окажется в общем случае сложной, НЕ "единичной" матрицей:

$\langle v_j | 1 | v_i \rangle \ = \langle v_j | v_i \rangle \ = g_{ji} \neq \delta_{ji}$

(числа $g_{ji}$ тогда будут играть роль типа "метрического тензора" в пространстве состояний в неортогональном базисе). В большинстве задач КМ, особенно на студенческом, учебном уровне, не возникает необходимости пользоваться неортогональными базисами. Так что, не забивайте ими себе голову без надобности.

Вообще, начинать изучать КМ-теорию надо обязательно параллельно с решениями задачек из студенческих задачников, а иначе все абстрактные формулировки останутся в голове невостребованными и потому непонятыми как следует.

А если освоение матриц идёт с большим трудом, то полезно вообще без КМ самому себе придумать и разобрать задачку типа из обычной евклидовой геометрии на плоскости. Например, возьмите лист бумаги из тетрадки в клеточку, проведите диагональ под 45 градусов, и пусть оператором $A$ у вас будет процедура зеркального отражения векторов относительно этой диагонали. Всё, оператор задан. Теперь выбирайте разные базисы и смотрите, какие будут получаться матрицы этого оператора в разных базисах. Например, возьмите базис в виде горизонтального и вертикального ортов; найдёте некую матрицу $A$. А затем возьмите базис в виде орта, идущего вдоль той же диагонали, и орта ей перпендикулярного - получится другая матрица того же оператора. Заодно этот пример будет и простейшей иллюстрацией для понятия "собственные значения и собственные векторы оператора".

[Munin]

illuminates
Прочитайте учебник линейной алгебры. Сильно поможет.

[illuminates]

Cos(x-pi/2)
Спасибо что привели мозги в порядок. По поводу примера. Как нам задать оператор отражения относительно диагонали?

Munin
Если не сложно, то посоветуйте что нибудь не сильно сложное, и доходящее до высокого уровня (сопряженное пространство, и т. д.).

[illuminates]

Книга которую я читаю (бывает с трудом) Канатникова-Крищенко - линейная алгебра.