Вопрос по ТФКП. Регулярная функция с нулём.

[samson4747]

Доброго времени суток!

Верно ли понимаю, что если регулярная в точке $a$ функция $f(z)$, имеет нуль (определённого порядка) в точке $a$, то есть имеется представление в виде: $f(z)=(z-a)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(a)=c_n\ne0$, где $\varphi(z)$ регулярная в точке $a$ функция, то это будет сохраняться всегда?

Поясню: будет ли работать теорема о представлении регулярной функции в окрестности нуля, на случай если рассмотреть пространство не $A(G)$, ($G$ - открытое множество, область или вся плоскость), а например пространство $B(G)=\{f\in A(G):\|f\|=\sup\dfrac{|f(z)|}{b(z)}<\infty\}$, можно ли функцией $b$ что-то испортить? Взяв например какую-нибудь непрерывную функцию $b(z)$ или с другим набором свойств? (если функция не локально отграничена от нуля, то такое есть)
Просто доказал, что нет, а мне говорят, что заблуждаюсь.

Спасибо!

[Brukvalub]

Такое представление вытекает из определения изолированного нуля голоморфной в области функции. Если функция голоморфна и обладает дополнительными свойствами, она перестает быть голоморфной?

[samson4747]

Brukvalub в сообщении #921610 писал(а):

Такое представление вытекает из определения изолированного нуля голоморфной в области функции. ...

Да.

Brukvalub в сообщении #921610 писал(а):

Если функция голоморфна и обладает дополнительными свойствами, она перестает быть голоморфной?

На саму функцию $f(z)$ мы и не накладываем дополнительных условий.
Если взять например $b(z)$ не локально отграниченную от нуля, то получим, что $f\not\in B (G)$.
Можем ли мы функцией $b(z)$, например непрерывной, вывести $f$ из класса $B(G)$?

[Otta]

Поясните, пожалуйста,

samson4747 в сообщении #921664 писал(а):

не локально отграниченную от нуля

- это отграниченную от нуля, но не локально (глобально то есть), или локально неотграниченную от нуля?

[samson4747]

Локальная отграниченность от $0$ в $G$.

Поясняю:

Взяли любую $z_0\in G$ и построили определённым образом кружок (допустим следующий:) $K_{z_0}(\varepsilon):=\{z\in G:|z-z_0|<\varepsilon\}$, причём для любого такого кружка имеем $\inf\limits_{z\in K_{z_0}(\varepsilon)}b(z)\geqslant \texttt{const}>0$.

Я имел отсутствие этого (которое сформулировал выше) свойства.

[Otta]

samson4747 в сообщении #921664 писал(а):

На саму функцию $f(z)$ мы и не накладываем дополнительных условий.

Накладываем, или Вы невнятно формулируете.

samson4747 в сообщении #921500 писал(а):

$B(G)=\{f\in A(G):\|f\|=\sup\dfrac{|f(z)|}{b(z)}<\infty\}$

Ваше множество $B$ состоит из аналитических функций, на которые дополнительно наложено весьма жесткое условие $\|f\|=\sup\dfrac{|f(z)|}{b(z)}<\infty$. Выполнение этого условия как-то зависит от $b$, разумеется. Но $f$ от этого аналитической быть не перестает. И значит, все свойства выполняются. Теорема о представлении регулярной функции в окрестности нуля, в частности.

Но такое ощущение, что Вы просто не можете толком сказать то, что хотите.

[g______d]

Otta в сообщении #921682 писал(а):

И значит, все свойства выполняются. Теорема о представлении регулярной функции в окрестности нуля, в частности.

Я так понял, что имеется в виду замена определения регулярной функции на принадлежность классу $B(G)$. Т. е. про функцию $f\in B(G)$, $f(z_0)=0$, надо доказать, что $f(z)=(z-z_0)^n g(z)$, где $f(z_0)\neq 0$ и $g\in B(G)$. Это, вообще говоря, не следует из теоремы о представлении регулярной функции.

[g______d]

Впрочем, можно объяснить так: если $b(z_0)\neq 0$, то ответ "да", т. к. в некоторой окрестности $z_0$ будет $b(z)\neq 0$. А если $b(z_0)=0$, то нет. Пример: $b(z)=z-z_0$.

[Otta]

Это смотря чего ТС хочет. Если он хочет, чтобы все функции в представлении

samson4747 в сообщении #921500 писал(а):

$f(z)=(z-a)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(a)=c_n\ne0$

были класса $B$, то конечно нет - просто потому, что не удастся заставить $\varphi$ попасть в этот класс. А если же это последнее необязательно... вот хотелось бы и услышать, чего же он хочет.

[g______d]

Otta в сообщении #921769 писал(а):

не удастся заставить $\varphi$ попасть в этот класс.

Иногда удастся, например, если $b(z_0)\neq 0$.

[samson4747]

g______d в сообщении #921697 писал(а):

Я так понял, что имеется в виду замена определения регулярной функции на принадлежность классу $B(G)$. Т. е. про функцию $f\in B(G)$, $f(z_0)=0$, надо доказать, что $f(z)=(z-z_0)^n g(z)$, где $f(z_0)\neq 0$ и $g\in B(G)$. Это, вообще говоря, не следует из теоремы о представлении регулярной функции.

Именно вот, чтобы $g\in B(G)$.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Otta в сообщении #921769 писал(а):

вот хотелось бы и услышать, чего же он хочет.

Хотелось бы пример, чтобы $f(z)\in B$, а при этом в разложении

samson4747 в сообщении #921500 писал(а):

$f(z)=(z-a)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(a)=c_n\ne0$

$\varphi(z)\not\in B$, для какого-то непрерывного $b(z)$ и какого-то $G$, ну например $\mathbb C$.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________

g______d в сообщении #921771 писал(а):

Otta в сообщении #921769 писал(а):

не удастся заставить $\varphi$ попасть в этот класс.

Иногда удастся, например, если $b(z_0)\neq 0$.

Можно подробней, пожалуйста?

[g______d]

samson4747 в сообщении #921786 писал(а):

Можно подробней, пожалуйста?

Пусть $b(z_0)\neq 0$. Тогда для некоторых $\varepsilon,\delta>0$ при $|z-z_0|\le \delta$ имеем $|b(z)|\ge \varepsilon$ (т. к. $b$ непрерывна). Пусть $f\in B(G)$, $f(z_0)=0$. Тогда $f(z)=(z-z_0)^n g(z)$, где $g(z_0)\neq 0$ и $g\in A(G)$. Покажем, что $g\in B(G)$. Действительно, для некоторой $C>0$ выполняется $|g(z)|<C$ при $|z-z_0|\le \delta$ просто потому что $g$ регулярна. Следовательно, при $|z-z_0|\le\delta$ имеем $\frac{|g(z)|}{|b(z)|}\le C\varepsilon^{-1}$. При
$|z-z_0|>\varepsilon$ имеем $\frac{|g(z)|}{|b(z)|}=\frac{|f(z)|}{|z-z_0|^n|b(z)|}\le \varepsilon^{-n} \frac{|f(z)|}{|b(z)|}$.

[samson4747]

g______d, абсолютно верно. Это и показано мной. Вы сыграли на

samson4747 в сообщении #921677 писал(а):

Локальная отграниченность от $0$ в $G$.

Поясняю:

Взяли любую $z_0\in G$ и построили определённым образом кружок (допустим следующий:) $K_{z_0}(\varepsilon):=\{z\in G:|z-z_0|<\varepsilon\}$, причём для любого такого кружка имеем $\inf\limits_{z\in K_{z_0}(\varepsilon)}b(z)\geqslant \texttt{const}>0$.

Я имел отсутствие этого (которое сформулировал выше) свойства.

Хотелось бы пример, чтобы $f(z)\in B$, а при этом в разложении $f(z)=(z-a)^n\cdot \varphi(z),~~ \varphi(a)=c_n\ne0$
$\varphi(z)\not\in B$, для какого-то непрерывного $b(z)$ и какого-то $G$, ну например $\mathbb C$.

Вы просто сказали Иногда:

g______d в сообщении #921771 писал(а):

Otta в сообщении #921769 писал(а):

не удастся заставить $\varphi$ попасть в этот класс.

Иногда удастся, например, если $b(z_0)\neq 0$.

Пример, когда нельзя так заставить хотелось бы увидеть, когда можно ясно.

[g______d]

samson4747 в сообщении #921802 писал(а):

для какого-то непрерывного $b(z)$ и какого-то $G$, ну например $\mathbb C$.

Из рассуждения следует, что для $b(a)\neq 0$ такого быть не может. Любая непрерывная функция локально отграничена от нуля в тех точках, где она не равна нулю.

А для $b(a)=0$ легко: возьмите $f(z)=z-a$, $b(z)=|z-a|$, $\varphi(z)=1$ (немного исправлено).

[Otta]

Я совсем просто рассуждала: если $f\in B$, а $b(z)=z-a$, то $f$ обязана иметь в $a$ ноль порядка один и выше. В случае нуля порядка один имеем представление $f(z)=(z-a)g(z)$, где $g(a)\ne 0$, но хочется, чтобы $g\in B$, то есть имела в $a$ ноль... все, вроде.

Но кажется, это то же самое.