2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 25  След.

Выражение 0^0
равно 0 3%  3%  [ 2 ]
равно 1 32%  32%  [ 19 ]
не определено 39%  39%  [ 23 ]
не имеет смысла 17%  17%  [ 10 ]
ничего не могу сказать по этому поводу 8%  8%  [ 5 ]
Всего голосов : 59
 
 
Сообщение20.12.2007, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Надо сказать, что разного рода "неопределённости" в матане происходят исключительно из-за некорректного использования обозначений.
:shock: :shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
А как рассматривать предел
Профессор Снэйп писал(а):
исходя из их теоретико-множественных определений
?
Вот такой, к примеру: $\lim\limits_{x\to 0^+} x^{\frac{1}{\ln x}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 18:02 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Надо сказать, что разного рода "неопределённости" в матане происходят исключительно из-за некорректного использования обозначений.
:shock: :shock: :shock:


А чем Вы удивлены?

Вот есть, допустим, теорема: если последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ и $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ сходятся к действительным числам $a$ и $b \neq 0$ соответственно, то последовательность $\{ x_n/y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ также сходится и её предел равен $a/b$. В теореме ничего не говорится о сходимости этой последовательности в случае, когда $b=0$. Однако иногда (но не всегда) последовательность $\{ x_n/y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ при $a=b=0$ всё же сходится и тогда её предел ни с того ни с сего начинают трактовать как "одно из возможных значений неопределённого выражения $0/0$".

В случае, когда $b \neq 0$, выражение $a/b$, фигурирующее в теореме, имеет вполне чёткий, определённый смысл: это результат операции деления на ненулевой элемент в поле действительных чисел. При $a=b=0$ это теряет смысл и начинаются какие-то нелепые фантазии, которым может быть только одно оправдание: при надлежащей осторожности в обращении они экономят время, позволяя путём некорректных, но коротких выкладок приходить к правильному результату. Игры со значками --- это хорошо, играйте сколько влезет, но не надо пытаться придавать получающимся в ходе таких игр выражениям какой-то содержательный смысл, особенно "действуя по аналогии". Не делится ноль на ноль в $\mathbb{R}$ и всё тут, ибо операция взятия обратного элемента в поле по определению частичная. Попытки поделить, используя значения пределов частных --- они от лукавого.

То же самое с возведением в степень. Операция $x^y$ не определена на $\mathbb{R}$ при $x=y=0$ и говорить о значении выражения $0^0$ как о результате этой операции бессмысленно.

А между тем в другой области математики, более фундаментальной чем матан --- математической логике, есть 3 определения операции возведения в степень: одно для множеств, другое для ординалов, третье для кардиналов. Согласно всем трём определениям $0^0=1$. Так что ответ на исходный вопрос более чем очевиден.

Добавлено спустя 2 минуты 43 секунды:

bot писал(а):
А как рассматривать предел
Профессор Снэйп писал(а):
исходя из их теоретико-множественных определений
?
Вот такой, к примеру: $\lim\limits_{x\to 0^+} x^{\frac{1}{\ln x}}$


Вы хотите, чтобы я Вам в ZFC доказал, что значение этого предела равно $e$ или как?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Да нет, не надо - просто предыдущее можно было понять совершенно в противоположном смысле.

Профессор Снэйп писал(а):
... тогда её предел ни с того ни с сего начинают трактовать как "одно из возможных значений неопределённого выражения 0/0"

Ну, здесь не очень много способных на такую трактовку.

Добавлено спустя 6 минут 23 секунды:

Однако даже уничижители нуля попадаются:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8116

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
А между тем в другой области математики, более фундаментальной чем матан --- математической логике....
:D :D :D Самая фундаментальная наука - мыловарение, без нее нас всех съедят блохи...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 18:56 


16/03/07

823
Tashkent
shwedka писал(а):
Нет, не так. В математике слова 'существует', 'не существует' имеют всегда вполне конкретный смысл, возникающий в результате определения.


    Согласен. Но я, по моему, не нарушаю этот принцип. Свои выводы я сделал на основании определения тригонометрической формы к. ч.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 19:29 


07/09/07
463
Mathematica выдала Indeterminate. Это не арифметическая формула. Скорее это объект задающийся через его свойства. $0^0 : (0^0)^n=0^0 \&& ...$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin
Цитата:
Свои выводы я сделал на основании определения тригонометрической формы к. ч.

Тригонометрическая форма нуля не определена.
Профессор Снэйп
Цитата:
Однако иногда (но не всегда) последовательность $\{ x_n/y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ при $a=b=0$ всё же сходится и тогда её предел ни с того ни с сего начинают трактовать как "одно из возможных значений неопределённого выражения $0/0$".

Не так. Студентов учат: неопределенность типа $0/0$. Педагогический прием, не имеющий отношения к реальному делению. Непределенное выражение не может иметь значения.
Цитата:
Согласно всем трём определениям $0^0=1$

Ну, давайте, продемонстрируйте мне отображение из пустого множества в пустое множество

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 20:38 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вот здесь написано, что $0^0=1$.

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000007

shwedka писал(а):
Ну, давайте, продемонстрируйте мне отображение из пустого множества в пустое множество


Я уже демонстрировал :) Могу подробнее разъяснить.

Определение. Функцией из множества $A$ в множество $B$ называется подмножество $f \subseteq A \times B$, такое что для любого $a \in A$ существует единственное $b \in B$, для которого $\langle a,b \rangle \in f$.

В случае $A=B=\varnothing$ множество $f = \varnothing$ удовлетворяет этому определению. :)

P. S. Вы уж мне поверьте, я уже не один год в НГУ этому студентов учу :) Если не верите --- найдите какую-нибудь хорошию книжку по теории множеств (основаниям математики, математической логике), там будет то же самое написано. :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
В случае $A=B=\varnothing$ множество $f = \varnothing$ удовлетворяет этому определению.
Вот и начало сказываться величие математической логики. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Профессор Снэйп

Цитата:
существует единственное $b \in B$

Ну, и где это b ?? и докажите единственность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 21:15 


22/11/06
186
Москва
shwedka писал(а):
shust
Цитата:
неопределенность________ [ 31 ] [28.18%]

Путаница здесь. Вы спрашиваете о 'неопределенности' - это педагогический термин, относящийся к теории пределов.


В Швеции все такие рассеянные, как уважаемая "shwedka"?
В том посте я только цитирую результаты аналогичного опроса, проведенного по адресу, указанному несколько выше и не по моей инициативе. У меня там даже кавычки есть.

По поводу пункта "неопределенность" - это наверно жаргон у них там такой. Я же говорил, что они люди простые и, говорят, даже гуманитарии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 21:28 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Не верють... :(

Логика математических утверждений иногда расходится с логикой повседневной жизни. Всё дело просто в том, что математики привыкли мыслить точно.

Пусть $\Phi(x)$ --- произвольное утверждение про некий объект $x$. Это может быть и утверждение о том, что $x$ --- простое число, и утверждение о том, что $x$ есть Римский Папа, и любое другое утверждение.

В чём бы не заключалось утверждение $\Phi$, утверждение $(\forall x \in \varnothing) \Phi(x)$ будет истинно всегда. Убедится в этом можно одним из двух способов. Во-первых, его можно переписать в эквивалентной форме $\forall x(x \in \emptyset \rightarrow \Phi(x))$ и заметить, что при любом $x$ в скобках стоит импликация с ложной посылкой, то есть истинное утверждение. Во-вторых, если предположить, что утверждение $(\forall x \in \varnothing) \Phi(x)$ ложно, то истинным должно быть его отрицание. Отрицание же эквивалентно утверждению $(\exists x \in \varnothing) \neg\Phi(x)$, ложность которого не подлежит сомнению (ну как вы найдёте элемент из пустого множества со свойством $\neg\Phi$, если в пустом множестве вообще нет элементов).

Теперь: берём $\Phi(a) = (\exists ! b \in \varnothing)(\langle a,b \rangle \in f)$. Естественно, $\Phi(a)$ будет ложным для любого $a$. Однако утверждение $(\forall a \in \varnothing)\Phi(a)$ --- истинно!!! И, значит, любое множество $f$ удовлетворяет второму условию из определения функции из $A$ в $B$ в случае, когда $A=B=\varnothing$.

Первое же условие заключается в том, что $f$ должно быть подмножеством $A \times B$. Ему удовлетворяет только пустое множество. Таким образом, пустое множество является единственным элементом множества функций из $\varnothing$ в $\varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Логика математических утверждений иногда расходится с логикой повседневной жизни. Всё дело просто в том, что математики привыкли мыслить точно.
Нам, операторам машинного доения (читай - доярам) такой глубокий смысл без надобности. Ну зачем мне, положим, пустое множество коров (это что, получается - их всех на фарш отправили?). Такое стадо нам не нужно - кого же я тогда доить стану? А мне без дойки никак нельзя - мастерство зараз упадёт. Вот и получается - все правда, что я давно подозревал: эти математические логики дурят простого мужика, ох дурят... Фокусничают, понимаешь, с пустыми множествами и формализмом своим, будь он трижды неладен, смысл у бессмысленных выражений выискивают. Неужто это им и вправду душу греет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 22:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
Ну зачем мне, положим, пустое множество коров (это что, получается - их всех на фарш отправили?). Такое стадо нам не нужно - кого же я тогда доить стану?


Зато если множество коров в стаде пустое, то каждая корова из вашего стада --- рекордсмен области и даже республики по удоям! Причем любая корова также является и быком, рожает по 80 телят в месяц и имеет большие ветвистые рога, как у оленя. А во лбу у неё пулемёт, а глаза такие добрые-добрые...

Красная Бурда писал(а):
Уж как я мою коровушку люблю,
Топором рога бурёнке отрублю,
Хвост отрежу скоростной бензопилой,
Чтоб повысило животное удой.

Уж как я мою коровушку люблю,
Керосина в отрубя ей подолью,
Чтоб резва была бурёнушка моя,
Чтоб ревела реактивная струя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 362 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 25  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group