Бесконечно ли количество решений в числах вида 3p^2+q^2=x^3?

[ananova]

Помогите разобраться с числами вида $3p^2+q^2$

Допустим, что в целых (или рациональных) числах выполняется: $3p_1^2+q_1^2=x_1^3$, при этом $x_1^3+y_1^3=z_1^3$

Если существует другое решение $3p_2^2+q_2^2=x_2^3$, при этом $x_2^3+y_2^3=z_2^3$, то можно получить третье решение на основе двух предыдущих: $3p_3^2+q_3^2=x_3^3$, c помощью известного уравнения:

$$3(q_1p_2 \mp q_2p_1)^2+(q_1q_2 \pm 3p_1p_2)^2=(3p_1^2 +q_1^2) (3p_2^2+q_2^2)$$

Группируя между собой все новые и новые решения, мы получим бесконечное количество решений, что противоречит известному результату - о том, что количество возможных решений уравнения Ферма конечно. (Этот результат рассматривается вне контекста известных доказательств ВТФ).

Если это верно, то чего не хватает для завершения доказательства?

[Nilenbert]

Существует бесконечно много решений уравнения $3x^2 + y^2=x^3$, например: $3\cdot 4^2+4^2=4^3$, $3\cdot 7^2+14^2=7^3$ и так далее.

-- Пн окт 20, 2014 04:35:37 --

ananova в сообщении #920835 писал(а):

Допустим, что в целых (или рациональных) числах выполняется: $3p_1^2+q_1^2=x_1^3$, при этом $x_1^3+y_1^3=z_1^3$

Вот эта часть непонятна, объясните что ту происходит.

[ananova]

Nilenbert в сообщении #921107 писал(а):

Допустим, что в целых (или рациональных) числах выполняется: $3p_1^2+q_1^2=x_1^3$, при этом $x_1^3+y_1^3=z_1^3$


Вот эта часть непонятна, объясните что ту происходит.

Благодарю за помощь в примерах. Факт - целочисленные кубы можно представить в композиции $3p^2+q^2$.
Но мы также знаем, что $x^3$ из уравнения $x^3+y^3=(y+1)^3$ можно представить в виде

$$x^3=3(y+ \frac 1 2)^2+ ( \frac 1 2)^2=3p^2+q^2$$

Данное число приводится к целочисленному виду и из него можно "получить" бесконечное множество возможных решений из всего 1 решения. Или это мои фантазии?

Вот это имелось ввиду. Ввиду общей "природы' тоже происходит и с числами $x^3+y^3=(y+(z-y))^3$

[Cash]

ananova в сообщении #921173 писал(а):

$$x^3=3(y+ \frac 1 2)^2+ ( \frac 1 2)^2=3p^2+q^2$$

$p$ и $q$ должны быть целыми

ananova в сообщении #920835 писал(а):

$3p_1^2+q_1^2=x_1^3$, при этом $x_1^3+y_1^3=z_1^3$
Если существует другое решение $3p_2^2+q_2^2=x_2^3$, при этом $x_2^3+y_2^3=z_2^3$, то можно получить третье решение на основе двух предыдущих: $3p_3^2+q_3^2=x_3^3$, c помощью известного уравнения:

$$3(q_1p_2 \mp q_2p_1)^2+(q_1q_2 \pm 3p_1p_2)^2=(3p_1^2 +q_1^2) (3p_2^2+q_2^2)$$

Покажите как, это совсем не очевидно, если вообще верно.

[ananova]

Вот из этого уравнения можно много вариантов решений "породить":

$$3p^2+q^2=3y^2+(3y^2-1)^2=((y+1)^3-y^3)(y^3-(y-1)^3)$$

[Cash]

А почему $q$ весьма специального вида?
И все равно не понимаю как.
Вас не затруднит привести все рассуждение полностью? Вот отсюда:

ananova в сообщении #920835 писал(а):

$3p_1^2+q_1^2=x_1^3$, при этом $x_1^3+y_1^3=z_1^3$

Если существует другое решение $3p_2^2+q_2^2=x_2^3$, при этом $x_2^3+y_2^3=z_2^3$,

Как получить новое решение?

-- Пн окт 20, 2014 17:16:08 --

Я кажется понял.
Вы хотите сказать, что если есть два числа некоего вида и являющихся решениями некоторого уравнения, то можно сконструировать третье число такого же вида. Это действительно очевидно.
Но ведь совершенно необязательно, что это третье число будет являться решением уравнения...

[ananova]

Ну формулу

ananova в сообщении #920835 писал(а):

$$3(q_1p_2 \mp q_2p_1)^2+(q_1q_2 \pm 3p_1p_2)^2=(3p_1^2 +q_1^2) (3p_2^2+q_2^2)$$

я "украл" у Рибенбойма в книге "Последняя теорема Ферма" на странице 40 уравнение (4.2). Впрочем, ее можно найти и в других источниках. Другое дело - что может я ее использую не в том контексте. Это возможно.
А весьма "специфическое" число $q$ не крал - честно вывел в конечном поле $F_{(y+1)^3-y^3}$. В этом поле $q^3 \equiv 1$.

-- Пн окт 20, 2014 16:30:12 --

Cash в сообщении #921217 писал(а):

о ведь совершенно необязательно, что это третье число будет являться решением уравнения..

Это то чего не хватает в доказательстве? Т.е. нужно доказать, что третье число будет решением уравнения?

[nnosipov]

ananova в сообщении #921223 писал(а):

в конечном поле $F_{(y+1)^3-y^3}$

Представляете ли Вы, что такое конечное поле? Видимо, здесь Вы имеете в виду что-то другое.

[ananova]

nnosipov в сообщении #921227 писал(а):

ananova в сообщении #921223 писал(а):

в конечном поле $F_{(y+1)^3-y^3}$

Представляете ли Вы, что такое конечное поле? Видимо, здесь Вы имеете в виду что-то другое.

К сожалению, в теории конечных полей не могу поддержать разговор. Может неверно записал - $GF(x^3)$ или так $GF((y+1)^3-y^3)$

Однако, некоторые условия вывода приведу.

Если ВТФ верна, то должно выполняться следующее сравнение:

$$(qy)^3 \equiv y^3 \mod ((y+1)^3-y^3)$$

или так:

$$(qy)^3 \equiv y^3 \mod x^3$$

Откуда не сложно получить $q$.

Справедливо $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)=(q-1)((y+1)^3-y^3)(y^3-(y-1)^3)$

-- Пн окт 20, 2014 16:52:20 --

Самое главное забыл указать - если $z^3=y^3+x^3$:

$$z \equiv qy \mod x^3$$

[Cash]

ananova в сообщении #921223 писал(а):

то то чего не хватает в доказательстве? Т.е. нужно доказать, что третье число будет решением уравнения?

Это единственное, что требуется

[nnosipov]

ananova в сообщении #921233 писал(а):

К сожалению, в теории конечных полей не могу поддержать разговор. Может неверно записал - $GF(x^3)$ или так $GF((y+1)^3-y^3)$

Нет, так писать не нужно, это тоже смысла не имеет. Поскольку далее Вы имеете дело со сравнениями по модулю, лучше писать "в кольце вычетов по модулю ...". Но если точный смысл этих слов (поле, кольцо и т.п.) не слишком хорошо знаком, самое лучшее было бы их не употреблять.

[ananova]

(Оффтоп)

Лайков нет, приходится пользоваться офтопиком.
Благодарю за подсказку - "в кольце вычетов по модулю..." буду использовать

[ananova]

Cash в сообщении #921238 писал(а):

ananova в сообщении #921223 писал(а):

то то чего не хватает в доказательстве? Т.е. нужно доказать, что третье число будет решением уравнения?

Это единственное, что требуется

После ваших сомнений, вариант с бесконечным числом решений, я уже вижу тупиковым, что коррелирует со справедливостью ВТФ. Однако можно попробовать пойти в обратную сторону - поиск доказательства отсутствия кубов в уравнении

$$3p^2+q^2=((y+1)^3-y^3)(y^3-(y-1)^3)$$

[Коровьев]

ananova в сообщении #921173 писал(а):

$$x^3=3(y+ \frac 1 2)^2+ ( \frac 1 2)^2=3p^2+q^2$$

Данное число приводится к целочисленному виду и из него можно "получить" бесконечное множество возможных решений из всего 1 решения. Или это мои фантазии?

Не фантазии, это действительно так.
$$\[ x^3 = q^2 + 3p^2 \]$

$$\[ \left( {x^3 } \right)^n = \left( {q^2 + 3p^2 } \right)^n = \left( {q + p\sqrt { - 3} } \right)^n \left( {q - p\sqrt { - 3} } \right)^n = \]$

$$\[ = \left( {q_n + p_n \sqrt { - 3} } \right)\left( {q_n - p_n \sqrt { - 3} } \right) = q_n ^2 + 3p_n ^2 = \left( {x^n } \right)^3 \]$

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} q_n = \frac{{\left( {q + p\sqrt { - 3} } \right)^n + \left( {q - p\sqrt { - 3} } \right)^n }}{2} \\ \\ p_n = \frac{{\left( {q + p\sqrt { - 3} } \right)^n - \left( {q - p\sqrt { - 3} } \right)^n }}{{2\sqrt { - 3} }} \\ \end{array} \right. \]$

[ananova]

Безусловно красиво, но свойства этих решений уже другие - Они уже не представлют из себя разности кубов. Мое первичное "заблуждение" было - получение множества новых решений с наследованием их свойств.