Выражение 0^0

[Dan B-Yallay]

Цитата:

drowsy писал(а):
Пусть $0^0=x$. Возьмите log of both sides,

Ну, и чему же равен $\ln 0^0$?!

Если проделать арифметические операции формально, то получаем:
$0^0=x$
$ln (0^0) =ln (x)$
$0 (ln (0)) = ln (x)$
$0(- \infty) = ln (x)$

Неопределенность, хотя похоже что $0 \le x \le 1$

Те же самые формальные операции с $x^3 = -1$ дают следующее:
$ln (x^3) = ln(-1)$
$3 ln (x) = ln (-1)$
$ln (x)= ln(-1)/3$
$x= e^{ln(-1)/3}= (e^{ln(-1)})^{1/3}=(-1)^{1/3} = -1$

Только не бейте сильно ногами.

[Yarkin]

Сколько мнений о “ничего в степени ничего”. И все разные. Как и в случае с ВТФ это связано с ошибочным введением понятия числа. А ответ здесь однозначный и его нет в пяти перечисленных пунктах. Придти к нему просто. Для этого надо считать нуль комплексным числом (к. ч. соответствуют правильному определению числа) и записать это выражение в тригонометрической форме.

[Echo-Off]

Да? Скажите пожалуйста, как записать $0^0$ в тригонометрической форме?

[Yarkin]

Echo-Off писал(а):

Да? Скажите пожалуйста, как записать $0^0$ в тригонометрической форме?

Это и есть тот самый однозначный и правильный ответ, которого нет в предлагаемых пяти пунктах.

[shust]

Вскоре после открытия темы решил выяснить, что народ думает по этому поводу в в других местах.
Так на форуме СПбГУ
http://www.spbgu.ru/forums/index.php?s=6e1d9b1cec78df6432103c9b2183aab4&showtopic=26364&st=0
проводился опрос с аналогичной темой. Для удобства просмотра цитирую его результаты ниже.

"Собственно 0 в степени 0?

ноль ___________________ [ 20 ] [18.18%]
единица ________________ [ 42 ] [38.18%]
неопределенность________ [ 31 ] [28.18%]
сук ____________________ [ 3 ] [2.73%]
я знаю, но не скажу_______ [ 5 ] [4.55%]
правильный ответ другой __ [ 4 ] [3.64%]
я не знаю________________ [ 5 ] [4.55%]

Всего голосов: 110 "

Интересно почитать их комментарии и соображения. Народ там похоже попроще, но поактивнее в смысле голосования.
Можно отметить, что распределение голосов там существенно другое, чем здесь.
Наибольшее число голосов отдано единице, и только на втором месте неопределенность.
Как вы думаете, почему?

[Dan B-Yallay]

А вы поставьте там на голосование вопрос чему равно $\frac 0 0$ или $0 * \infty$

Может это даст ответ на ваш вопрос.

[shust]

PAV писал(а):

А вообще забавная мода пошла - решать математические вопросы голосованием.

В разделе Дискуссионные темы, где обычно помещаются вопросы пограничные между знанием и незнанием, естественно и проводить опросы такого рода. Никто же не проводит опросы на тему, например, чему равно 2+2.
Интуиция в таких случаях иногда быстрее приводит к цели, чем формальная логика.
Кстати, этот опрос только седьмой за все время существования этого раздела.

[Echo-Off]

Yarkin писал(а):

Echo-Off писал(а):

Да? Скажите пожалуйста, как записать $0^0$ в тригонометрической форме?

Это и есть тот самый однозначный и правильный ответ, которого нет в предлагаемых пяти пунктах.

Так что за ответ? Предположим, 0 можно записать в форме $e^{-\infty}(\cos 42 + i\sin 42) = e^{-\infty+42i}$. Дальше возводим в степень 0. Как вы хотите раскрыть неопределённость $e^{-\infty 0}$?

[shwedka]

shust

Цитата:

неопределенность________ [ 31 ] [28.18%]

Путаница здесь. Вы спрашиваете о 'неопределенности' - это педагогический термин, относящийся к теории пределов. Так недоученные студенты Вас и поняли. Правильный вопрос и ответ: НЕ ОПРЕДЕЛЕНО. Это как если спросить: сколько будет 3 яблока + поллитра пива. Ну, не определяет математика такое действие.
Echo-Off

Цитата:

$e^{-\infty}(\cos 42 + i\sin 42) = e^{-\infty+42i}$

Бесконечность-это не число, а символ. С ней операции производить нельзя.

[STilda]

Сделал так $0^0=0^{5-5}=0^5/0^5=0/0$. Сравнил с $1/0$. И возник вопрос. Второе - не имеет смысла, первое - неопределено, почему? И в чем разница между не имением смысла и неопределенностью? Зачем выделили два понятия?

[Yarkin]

Никаких споров не возникло бы и не было бы проблемы с ВТФ, при правильном определении числа. А пока, для проверки этих неувязок надо прибегать к комплексным числам (к. ч. не пртиворечат правильному определению), используя тригонометрическую форму записи (отражающей вектор) и делать простые выводы. Ответ для ВТФ – в моей подписи. Ответ для $ 0^0$ - не существует.

shwedka писал(а):

Правильный вопрос и ответ: НЕ ОПРЕДЕЛЕНО.

Не согласен. То, что не существует определять не надо.

shwedka писал(а):

Это как если спросить: сколько будет 3 яблока + поллитра пива.

Вопрос не равноценный, ибо в бытность это назывли наличием и его можно изменять: отнять одно яблоко и сто грамм пива. С предложенным выражением ничего не сделаешь.

[Профессор Снэйп]

Натуральные числа --- это конечные ординалы, которые заодно являются и кардиналами. В частности, $0 = \varnothing$, $1 = \{ \varnothing \}$, 2 = \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \}$ и т. д. Для произвольного натурального числа $n$ справедливо $n+1 = \{ 0,1, \ldots, n \}$.

Для кардиналов $\alpha$ и $\beta$ выражение $\alpha^{\beta}$ обозначает кардинал, равный мощности множества функций из $\beta$ в $\alpha$.

Существует ровно одна функция из пустого множества в пустое множество (она равна пустому множеству). Посему $0^0=1$. За то и голосовал.

[shwedka]

Yarkin
Нет, не так. В математике слова 'существует', 'не существует' имеют всегда вполне конкретный смысл, возникающий в результате определения.
Вот, например, $\lim_{x\to\infty}\sin x$ определен, как и всякий предел, но не существует. Если объект не определен, то бессмыссленно говорить о его существовании или несуществовании.
Иначе говоря, определение предшествует вопросу о существовании. А не как у Вас.

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

Натуральные числа --- это конечные ординалы, ...

С самого начала, памятуя, что все наши утверждения это лишь импликации, тянуло проголосовать за последний пункт - кто же знает, что у автора в рукаве, о каких нулях он толкует? С точки зрения предела - это неопределённость, но это уж слишком на поверхности лежит. Должна же быть естественная интерпретация этого выражения, при котором оно будет определённым. Удержало от голосования только то, что навскидку такой интерпретации не увидел. Теперь голосую за последний пункт с чистой совестью.

[Профессор Снэйп]

В добавление к предыдущему. Для множеств $A$ и $B$ через $A^B$ часто обозначают множество всех функций из $B$ в $A$. В этих обозначениях $0^0 = \varnothing^\varnothing = \{ \varnothing \} =1$ и опять $0^0$ оказывается равным единице.

Надо сказать, что разного рода "неопределённости" в матане происходят исключительно из-за некорректного использования обозначений. Если же играть строго по математическим правилам и рассматривать значения выражений исходя из их теоретико-множественных определений, то получаем однозначный ответ $1$ без вариантов.