Образы и прообразы: опечатка в учебнике или..?

[Anton_Peplov]

Пусть есть отображение $f \colon X \to Y$.
Образом множества $A \subset X$ называется множество всех $f(x)$ таких, что $x \in A$.
Прообразом множества $B \subset Y$ называется множество всех $x$ таких, что $f(x) \in B$.

В учебнике Виро, Иванова и др. "Элементарная топология" на с. 60 сказано буквально следующее:
"Далеко не всегда образ прообраза (выделение мое - A.P.) множества $B$ совпадает с $B$, а если это и так, то прообраз может быть не единственным множеством, обладающим этим свойством".
Мне кажется, здесь опечатка. Это прообраз образа множества $A$ не обязан совпадать с $A$ (если отображение не биективно). Например, пусть $f \colon y = x^2$, $A = \{2\}$. Образ множества $A$ есть $B = f(A) = \{4\}$. Однако прообраз $B$, он же прообраз образа $A$ имеет вид $f^{-1}(B) = f^{-1}(f(A)) = \{-2, 2\}$. Прообраз образа $A$ не совпадает с самим $A$.
А вот упомянутый у Виро и компании образ прообраза множества $B$ обязан совпадать с самим $B$. $B$ - это и есть образ собственного прообраза.
Или я чего-то не понимаю?

[Mihr]

Думаю, что Вы правы, а в учебнике действительно опечатка.

[Legioner93]

Отобразим плоскость (на, в, не помню разницы) плоскость. Пусть образ плоскости есть круг единичного радиуса. Прообразом круга радиуса 2 будет плоскость. Однако образ этой плоскости - круг радиуса 1. Так что всё правильно у Виро.

-- Сб окт 18, 2014 18:15:36 --

Наверное, у вас в голове было другое определение (точнее, дополнительное требование) прообраза: $f(\text{прообраз B})$ обязано заполнять всю $B$. Я и сам так, честно говоря, думал всю жизнь. Но вот в вашем определении такого требования нет.

[Mihr]

Legioner93,
в Вашем примере круг радиуса 2 не содержится целиком в области значений отображения и уже поэтому не может иметь прообраза. Если не согласны со мной, загляните в "Википедию" (статья "Функция (математика)").

[Legioner93]

У ТС такого требования нет!

Anton_Peplov в сообщении #920227 писал(а):

Прообразом множества $B \subset Y$ называется множество всех $x$ таких, что $f(x) \in B$.

Если бы ваше требования имело место быть, то следовало бы написать

Цитата:

Прообразом множества $B \subset f(X)$ называется множество всех $x$ таких, что $f(x) \in B$.

-- Сб окт 18, 2014 19:07:41 --

Mihr в сообщении #920305 писал(а):

Если не согласны со мной, загляните в "Википедию" (статья "Функция (математика)").

Статья в Википедии иррелевантна для меня в данном вопросе. Даже не буду заходить. ТС чётко дефинировал понятия образа и прообраза. Осмелюсь высказать очевидный до неприличия тезис - если в Википедии другое определение прообраза, то и ответ на вопрос ТС-а может быть другим.

[Mihr]

Legioner93,
тезис понятен. Но я о том, что есть общепринятые определения. Если "ТС чётко дефинировал понятия образа и прообраза", следуя собственным определениям, то чисто формально он прав. Но всё-таки честно было бы предупредить читателя об этом.

[Anton_Peplov]

Legioner93 в сообщении #920308 писал(а):

следовало бы написать

Да, тут все упирается в вопрос, как понимать запись $f \colon X \to Y$. Это та самая разница между "в" и "на". Если $Y = f(X)$, одна ситуация, если нет - другая.
Спасибо, вопрос исчерпан, я думаю.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #920319 писал(а):

Да, тут все упирается в вопрос, как понимать запись $f \colon X \to Y$. Это та самая разница между "в" и "на". Если $Y = f(X)$, одна ситуация, если нет - другая.

Стандартная ситуация как раз не предполагает, что $f(X)=Y$.
Я, вообще-то, специализируюсь в общей топологии, и всегда считал, что такое равенство обычно не предполагается, а если оно нужно, то должно оговариваться явно. Сейчас специально открыл книгу Р. Энгелькинга "Общая топология" и во введении сразу же нашёл:

Цитата:

Элементарные формулы алгебры множеств, относящиеся к образам и прообразам множеств, часто используются в этой книге; к числу важнейших из них принадлежат следующие две формулы:

$$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)\subset B\text{ и }f^{-1}(f(A))\supset A.$$

(Рышард Энгелькинг использует значки "$\subset$" и "$\supset$" и в случае равенства множеств.)

[Phaenomenon]

Если $A\subset \left(D\left(f\right)\right)$ – подмножество аргументов функции $f: X\to Y$, то
$f(A) := \left\{ y\in Y: \exists x\in A , y=f\left(x\right) \right\} будет называться образом множества $A$ при отображении $f$.

Если $B \in (R(f))$ – подмножество значений функции $f: X \to Y$, то
$f^{-1} (B) := \left\{{x\in X: f(x)\in B\right\}$ будет называться полным прообразом множества $B$ при отображении $f$.

Скажите, такое формально определение верно?

[Someone]

Phaenomenon в сообщении #920464 писал(а):

Если $A\subset \left(D\left(f\right)\right)$ – подмножество аргументов функции $f: X\to Y$, то
$f(A) := \left\{ y\in Y: \exists x\in A , y=f\left(x\right) \right\} будет называться образом множества $A$ при отображении $f$.

Если $B \in (R(f))$ – подмножество значений функции $f: X \to Y$, то
$f^{-1} (B) := \left\{x\in X: f(x)\in B\right\}$ будет называться полным прообразом множества $B$ при отображении $f$.

Скажите, такое формально определение верно?

Стандартные определения такие. Пусть $f\colon X\to Y$ — отображение.
Образ множества $A\subseteq X$ при отображении $f$ есть множество

$$fA=\{y:(y\in Y)\wedge(\exists x(x\in A)\wedge(fx=y))\}=\{fx:x\in A\}$$

(второе выражение есть удобное сокращение первого).
Полный прообраз множества $B\subseteq Y$ при отображении $f$ есть множество

$$f^{-1}B=\{x:(x\in X)\wedge(fx\in B)\}=\{x\in X:fx\in B\}$$

(второе выражение есть удобное сокращение первого).

Ваше определение образа такое же, только непонятно, зачем вместо $X$ написано $D(f)$; если $D(f)$ — область определения, то это $X$ и есть (впрочем, тут могут быть нюансы, зависящие от деталей определений).
Что касается определения полного прообраза, то оно у Вас содержит лишнее ограничение (если я правильно понял, что $R(f)$ — это множество значений, то есть, $fX$). Должно быть $B\subseteq Y$, а не $B\in R(f)$ (к тому же здесь опечатка: "$\in$" вместо "$\subseteq$").

[Phaenomenon]

Someone, большое спасибо за разъяснение! Просто я подумал, что вводя обозначения $D(f)$ и $R(f)$ я подчеркну этим записи подмножество аргументов функции $f: X\to Y$ и подмножество значений функции $f: X \to Y$ соответственно.