По первому пункту.
Не указаны условия на длину ребра тетраэдра. Если длина ребра рациональна, то подобная тема обсуждалась недавно для равностороннего треугольника.
http://dxdy.ru/topic87692.htmlТам и расстояния приведены. На каждом ребре (следовательно, и на грани) бесконечно много точек с рациональными расстояниями до вершин. Например,

при длине ребра 1. Есть и более экзотические (там же).
Если длина ребра. например, число трансцендентное, то точек в

с рациональными расстояниями до вершин тетраэдра быть не может. Следует из равенства нулю определителя Кели-Менгера. Определитесь поточнее с условием.
По второму пункту.
Таких точек нет. Следует из того, что задача сводится к нахождению рационального

, удовлетворяющего системе уравнений

. где

рациональные числа;
из первого уравнения находится

и подставляется во второе,
получается уравнение

,
оно приводится к форме Вейерштрасса

,
вычисляется его ранг, он равен нулю и на

нет рациональных точек бесконечного порядка, кроме того, точкек кручения три (не считая

)

и рационального решения для

они не дают. Следовательно, рациональных решений

не имеет.