Рациональное расстояние

[Terraniux]

1) Существует ли на плоскостях граней правильного тетраэдра точка, расстояние от которой до его вершин рационально?
2) Существует ли на координатных прямых (в декартовых прямоугольных координатах) точка, расстояние от которой до всех вершин куба $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ рационально?

[scwec]

По первому пункту.
Не указаны условия на длину ребра тетраэдра. Если длина ребра рациональна, то подобная тема обсуждалась недавно для равностороннего треугольника.
http://dxdy.ru/topic87692.html
Там и расстояния приведены. На каждом ребре (следовательно, и на грани) бесконечно много точек с рациональными расстояниями до вершин. Например, $(3/8,5/8,7/8,7/8)$ при длине ребра 1. Есть и более экзотические (там же).
Если длина ребра. например, число трансцендентное, то точек в $\mathbb{R}^3$ с рациональными расстояниями до вершин тетраэдра быть не может. Следует из равенства нулю определителя Кели-Менгера. Определитесь поточнее с условием.
По второму пункту.
Таких точек нет. Следует из того, что задача сводится к нахождению рационального $x$, удовлетворяющего системе уравнений
$x^2+2=m^2,(x-2)^2+2=n^2\qquad(1)$. где $m,n$ рациональные числа;
из первого уравнения находится $x=\dfrac{-t^2+6t-1}{2(t^2-1)}$ и подставляется во второе,
получается уравнение $y^2=33t^4-60t^3-10t^2+36t+17$,
оно приводится к форме Вейерштрасса $w^2=u^3-\dfrac{13312}{3}u-\dfrac{3014656}{27}\quad(2)$,
вычисляется его ранг, он равен нулю и на $(2)$ нет рациональных точек бесконечного порядка, кроме того, точкек кручения три (не считая $\infty$) $(u,w)=(32/3,\pm{256}),(128/3,0)$ и рационального решения для $(1)$ они не дают. Следовательно, рациональных решений $(1)$ не имеет.

[Terraniux]

scwec
Как все интересно, оказывается!
В первой задаче в 1-м случае трансцендентность существенна? А что будет в случае алгебраически иррационального расстояния? Но в оригинале имелся в виду единичный тетраэдр.
По второй задаче: наверняка, в $n$-мерном случае тоже нет таких точек?

[scwec]

По поводу первого вопроса - предлагаю рассмотреть случай, когда ребро тетраэдра имеет иррациональную длину, например, $\sqrt{3}$.
И пусть имеется точка на грани тетраэдра с рациональными расстояниями до вершин, лежащих на этой грани (обозначаем расстояния $a,b,c$) и с рациональным расстоянием $m$ до вершины не лежащей на этой грани.
Тогда, используя определитель Кели-Менгера, находим, что $a,b,c,m$ удовлетворяют двум уравнениям:
$-a^4+a^2{c^2}+b^2{a^2}+3a^2-9+c^2b^2+3b^2+3c^2-b^4-c^4=0$ и

$3m^4-2c^2{m^2}-2b^2{m^2}-2a^2{m^2}-6{m^2}+3c^4-2b^2{c^2}-2a^2{c^2}-6c^2+3{b^4}-2a^2{b^2}-6b^2+3a^4-6{a^2}+27=0$
Теперь надо разбираться, имеют ли они рациональные решения. Замечу, что первое уравнение имеет бесконечно много рациональных решений, но не все они удовлетворяют второе уравнение.
Общий случай алгераического числа - разбирался или нет, мне не известно.

По второму вопросу - да, таких точек нет и в n-мерном случае. Но для единичного квадрата на плоскости до сих пор не известно, существует ли на плоскости точка, расстояния от которой до всех вершин квадрата рациональны (Проблема Г.Штейнгауза), хотя известно, что множество точек с тремя рациональными расстояниями всюду плотно на плоскости.

[Sonic86]

scwec в сообщении #918878 писал(а):

$x=\dfrac{-t^2+6t-1}{3-2t+3t^2}$

Конкретно в этой формуле, видимо, опечатка: подставляя в $t=0$ получим $x=-\frac{1}{3}$, что при $x^2+2=m^2$ дает $m^2=\frac{19}{9}$.

[scwec]

Sonic86, спасибо. Я внес коррективы в текст сообщения. На вывод это, к счастью, не повлияло.
Теперь по поводу n-мерного куба. Я поторопился сказать о несуществовании точек с рациональными расстояниями до вершин. В размерностях $n=k^2$ все расстояния от начала координат до вершин равны $k$. А в других размерностях надо еще посмотреть повнимательней.

[scwec]

С n-мерным кубом дела обстоят так: в размерностях $n=k^2$ единственная точка с рациональными расстояниями до вершин - это начало координат.
В других размерностях точек, лежащих на осях и с рациональными расстояниями до вершин нет.
Прием при доказательстве тот же, что и в первом моем сообщении.