Ортогональный оператор

[MestnyBomzh]

Докажите, что следующая матрица задает ортогональный оператор. Определите его тип и найдите угол и ось вращения. Постройте канонический базис этого оператора: $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 &2 &-1 \\ -1& 2& 2 \\2 &-1 &2 \end{pmatrix}$.
Проблема возникает с нахождением собственных векторов. Собственные числа находятся из характеристического уравнения: $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = \frac{3}{2}(1-i\sqrt{3}), \lambda_3 = \frac{3}{2}(1+i\sqrt{3})$. А дальше, найти собственный вектор для пары $\lambda_2, \lambda_3$ очень проблематично! Не подскажите, есть ли какой-то путь обхода? Слышал, что есть какой-то способ со следом матрицы, однако, я нашел лишь то, что он равен сумме собственных чисел, что навряд ли здесь поможет

-- 13.10.2014, 23:14 --

Кажется, я забыл умножить на $\frac{1}{3}:\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{1}{2}(1-i\sqrt{3}), \lambda_3 = \frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})$

[arseniiv]

MestnyBomzh в сообщении #918659 писал(а):

Кажется, я забыл умножить на $\frac{1}{3}:\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{1}{2}(1-i\sqrt{3}), \lambda_3 = \frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})$

Нет, сначала было правильно.

[MestnyBomzh]

arseniiv
а почему так? Собственные числа у ортогональной матрицы должны быть по модулю равны единице же

[arseniiv]

Ой, это я балда в очередной раз. Забыл разделить матрицу на 3.

[MestnyBomzh]

Ну, с этим разобрались
Осталось разобраться базисом канонического вида

[mihailm]

Канонический вид для этого оператора не диагональный, а с синусами косинусами.
Ось это собственный вектор для единицы.

[MestnyBomzh]

mihailm
Да, канонический вид будет выглядить следующим образом: $\begin{pmatrix} \pm1 &0 &0 \\ 0& \cos x& \sin x \\0 &-\sin x &\cos x \end{pmatrix}$. Но его тут и не нужно искать, нужен лишь базис, в котором данная матрица имеет такой вид. Один вектор базиса находится легко. А другие нет

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #918690 писал(а):

Один вектор базиса находится легко. А другие нет

Возьмите любой ортонормированный базис в ортогональном дополнении к первому собственному вектору. Ну почти любой -- надо лишь позаботиться о согласовании знаков определителей.

[MestnyBomzh]

ewert
у нас есть уже найденный собственный вектор $(1, 1, 1)^{T}$. Тогда ортогональное дополнение к нему задается векторами: $(-1,0 ,1)^{T}$ и $(-1, 1, 0)^{T}$. Матрица $A$ в новом базисе будет выглядеть следующим образом:$A' = T_{e \to v_1, v_2, v_3} \cdot A$, где $T_{e \to v_1, v_2, v_3} = \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 \\ 1& 0& 1 \\1 &1 &0 \end{pmatrix} $ И нам нужно, чтобы $\det A' > 0$. Определитель изначальной матрицы $\det A =1$. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то необходимо, чтобы $\det\begin{pmatrix} 1 &-a &-q \\ 1& 0& q \\1 &a &0 \end{pmatrix} > 0$. Это есть матрица, составленная из собственного вектора и двух ему ортогональных, умноженных на некоторые коэффициенты. Это верно, например, для $a= -1, q=1$. ну и осталось их нормировать, в итоге получим: $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} &\frac{\sqrt{2}}{2} &\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}& 0& \frac{\sqrt{2}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{3} &\frac{\sqrt{2}}{2} &0 \end{pmatrix}$.
Так верно будет?

[Munin]

А они разве у вас нормальными получились? Знаки все позабыты.

-- 14.10.2014 01:45:03 --

P. S.

MestnyBomzh в сообщении #918748 писал(а):

ну и осталось их нормировать

А между собой ортогонализовать не надо?

[MestnyBomzh]

Munin
Я формулу перехода матрицы оператора перепутал с формулой перехода из одного базиса в другой. Завтра перепишу решение

[MestnyBomzh]

Итак, формула матрицы в новом базисе: $A' = T^{-1} A T$, где $T = \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 \\ 1& 0& 1 \\1 &1 &0 \end{pmatrix} $. (выбираем по прежнему $a=-1, q=1$ ) Обратная ей: $T^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1& 1& -2 \\-1 &2 &-1 \end{pmatrix} $. Как было сказано выше, определитель произведения равен произведению определителей. $\det A=1$, $\det T = 3, \det T^{-1} = \frac{1}{3}$. Тогда определитель нашей матрицы в новом базисе $> 0$, ровно как и определитель изначальной. Значит, эта тройка векторов нам подходит.
Ортогонализуем вектора. $v_1$ уже ортогонален $v_2$ и $v_3$. Ортогонализуем $v_2, v_3$ между собой, получим: $v_1 = (1, 1, 1)^T, v_2=(-1, 0, 1), v_3=(\frac{\sqrt{2}}{2}-1, 1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Осталось нормировать: $w_1=(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}), w_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}), w_3 = (\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-1}{\sqrt{3-\sqrt{2}}}, \frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{2}}}, -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3-\sqrt{2}}})$

-- 14.10.2014, 10:59 --

Munin в сообщении #918756 писал(а):

А между собой ортогонализовать не надо?

Вот этот момент мне не очень понятен..ewert сказал, что нам нужны два вектора($v_2, v_3$) из ортогонального дополнения. А когда мы их нормируем между собой, то получаем, что один из векторов не будет же лежать в ортогональном пространстве к $v_1$

[Munin]

MestnyBomzh в сообщении #918806 писал(а):

Вот этот момент мне не очень понятен..ewert сказал, что нам нужны два вектора($v_2, v_3$) из ортогонального дополнения. А когда мы их нормируем между собой, то получаем, что один из векторов не будет же лежать в ортогональном пространстве к $v_1$

Нет, если правильно их ортогонализовать, то они из ортогонального дополнения не вылезут. (Не выпадут, не выползут. Не знаю, как правильно сказать. О, не выйдут!)

[MestnyBomzh]

Да, я, конечно, неправильно ортогонализовал. После ортогонализации и нормирования получам: $v_1=(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}), v_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0 , \frac{\sqrt{2}}{2}), v_3=(\frac{\sqrt{6}}{6}, -2\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$.

-- 14.10.2014, 17:13 --


Остался только вопрос, почему

ewert в сообщении #918722 писал(а):

Ну почти любой -- надо лишь позаботиться о согласовании знаков определителей.

должно соблюдаться?

[nnosipov]

ewert в сообщении #918722 писал(а):

Возьмите любой ортонормированный базис в ортогональном дополнении к первому собственному вектору.

Но можно найти комплексный собственный вектор, его вещественная и мнимая части дадут два ортогональных вектора, которые останется всего лишь нормировать.