Но как трактовать второй член в лагранжиане? Как путь в четырёхмерном пространстве-времени? Но тут затык в том, что метрика на всём этом пути вырождена как раз там, где находится пробное тело.
Да, именно так. Второе слагаемое некорректно для чёрной дыры.
Попробуйте справиться с формулой (5) следующим образом. Считайте, что пробное тело имеет маленький конечный размер. Причём тело абсолютно твёрдое. Т.е. дальше сжиматься не будет.
Пусть

- действие гравитационного поля,

- действие небесного тела. Есть два случая:
Раздельные экстремумы
и
. Воображать небесное тело маленьким шариком неважно какого размера, неважно какой плотности, неважно с каким давлением и т.п. можно когда ищется экстремум действия

сам по себе, и экстремум действия

то же сам по себе, раздельно и независимо друг от друга, и предполагается, что вдоль мировой линии небесного тела девиация геодезических много меньше его размеров. Это случай пушечного ядра летающего в окрестности Земли.
Экстремум суммы
. Когда ищется экстремум суммы

, то становится важным и размер тела, и его плотность, и давление внутри него и так далее. Это случай самогравитирующего небесного тела, например звезды.
В (5) записана
сумма, однако в роли

в (5) используется действие для воображаемого точечного тела (которое из другой оперы), поэтому формула (5) не более чем банальная
лажа (приматол.).
Если кто-то хочет изучать экстремум суммы

, то в качестве

он должен брать чего-то "посерьёзнее" чем

.