Будет ли интеграл равен 0

[Бодигрим]

Лучше задайте этот вопрос отдельной темой. Я, впрочем, никак не пойму, зачем вам дифуры третьего порядка? В вашей задаче стоит максимум вторая производная.

[Ulya]

Мне просто этот вопрос стал очень интересным.

[ГАЗ-67]

В лоб не пытались решать : перемножить , продифференцировать , получить коэффициэнты при одинаковых степенях и далее перейти к интегрированию ? Можно попробовать интегрировать на разных интервалах от нуля до a , от -a до a и т.д. и с разными весами .
Сам попробую так сделать , если злые экономисты из ОКС-а не съедят меня вместе с годовым отчётом .

[Ulya]

ГАЗ-67, я буду надеяться на вас.
А вы имеете ввиду взять конкретные степени для многочленов?
Например, $m=4,n=3$?

[ГАЗ-67]

Нет . Я предлагаю взять произвольные многочлены $ P_m $ и $ P_n $ , где $ m> n $ .

[Ulya]

Я начала решать.
Возник такой интеграл

$$ \int P''_{m+2}(z) \cdot P''_{n+2}(z), m>n\ge 2. $$

Как получить (рекуррентную) форму после взятия по частям, чтобы интеграла вообще не было (надо брать по частям столько, пока не занулится
слагаемое подынтегральное. т.е. производная будет $m+3$ или $n+3$).

[Бодигрим]

Да можно проще: под интегралом у вас многочлен, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты $P_{m+2}(z)$ и $P_{n+2}$. Этот многочлен вы уже интегрируете легко.

Обозначая $P_{m+2}(z)=\sum_{k=0}^{m+2}c_kz^k$, получим $P''_{m+2}(z)=\sum_{k=0}^{m} c_k(k+1)(k+2)z^k$. Аналогично для $P_{m+2}(z)=\sum_{k=0}^{n+2}d_kz^k$, получим $P''_{n+2}(z)=\sum_{k=0}^{n} d_k(k+1)(k+2)z^k$. А их произведение равно

$$\sum_{k=0}^{n+m} \left( \sum_{l=0}^{k} c_l(l+1)(l+2)d_{k-l}(k-l+1)(k-l+2) \right) z^k $$

.

Тогда искомый интеграл выразится как

$$\sum_{k=0}^{n+m} \left( \sum_{l=0}^{k} c_l(l+1)(l+2)d_{k-l}(k-l+1)(k-l+2) \right) {z^{k+1}\over k+1} $$

.

[Ulya]

Да и еще 3 похожих интеграла. А потом что с ними делать?
Праравнивать коэффициенты при одинаковых степенях?

[Бодигрим]

Я мыслей не читаю, какие у вас еще интегралы появились - не знаю. Но вообще-то надо это как-то увязать с вашим дифуром.

[Ulya]

А вообще по-нормальному надо было взять

$$ 2\left( {(az^2 + bz + c) \cdot P (z)} \right)^{\prime \prime } + (d - 2a^2 )P (z) = 0. $$

И получить 4 интеграла. Тогда 1-ый вообще страшный получается:

$$ 4 \int \left( {(az^2 + bz + c) \cdot P_m (z)} \right)^{\prime \prime } \cdot \left( {(az^2 + bz + c) \cdot P_n (z)} \right)^{\prime \prime } dz $$

[Бодигрим]

Хм, почему было вначале не продифференцировать произведение и привести подобные, а потом интегрировать?

[Ulya]

У меня получилось, что

$$ (az^2 + bz + c) \cdot P_m (z) $$

имеет вид

$$ z^{m+2} (z c_m)+ z^{m-1}(a c_{m-1}+ b c_m)+z&m (a c_{m-2}+ b c_{m-1}+ c c_m)+\ldots+z^2(a c_0+ b c_1+ c c_2)+z(b c_0+ c c_1)+ c c_0. $$

Там же жуть получиться тогда ((

[Бодигрим]

Ну да, жуть. Я вообще слабо понимаю, каким методом вы пытаетесь решить задачу.

[Ulya]

Ну Вы же сами предложили.

Цитата:

В лоб не пытались решать : перемножить , продифференцировать , получить коэффициэнты при одинаковых степенях и далее перейти к интегрированию ? Можно попробовать интегрировать на разных интервалах от нуля до a , от -a до a и т.д. и с разными весами .
Сам попробую так сделать , если злые экономисты из ОКС-а не съедят меня вместе с годовым отчётом .

[Бодигрим]

Это был не я, а ГАЗ-67.