связность на торе

[Munin]

quantum newbie в сообщении #918112 писал(а):

Расслаивается не энергия, а собств. состояние. Каждый слой - это одномерное собств. пр-во (без нормировки волновой функции).

Ещё меньше понимаю. Скажите чётко, что такое слой, что такое база, и какой они имеют физический смысл. Собственные состояния - блоховские, что ли?

[quantum newbie]

Дано $H(k)$, $k$ из зоны Бриллюэна. Для каждого $k$ определено $E(k)$ и (неформально) $\psi(k)$ для каждой зоны. Рассмотрим одну зону. Слой в точке $k$ - это собственное подпространство, одномерная оболочка $c\psi(k)$, $c$ - произвольное число, без нормировки. Топология определяется пространством состояний, на котором определён $H(k)$. Физика очевидна.
Это далеко от первоначальной темы.

[Munin]

Чем отличается $H(k)$ от $E(k),$ и что такое $\psi(k)$? Вы можете полагать эти вещи самоочевидными, но вы просто глубоко погрузились в тему.

[пианист]

Попытаюсь ответить на исходный вопрос.
Поправьте, если я где-то проврался.
Тор накрывается двумя картами {$(\varphi, \psi), 0<\varphi<2\pi, 0<\psi<2\pi$} и {$(\varphi', \psi'), 0<\varphi'<2\pi, 0<\psi'<2\pi$}, связанными посредством соотношений
$\varphi'=\varphi+\pi, 0<\varphi<\pi$,
$\varphi'=\varphi-\pi, \pi<\varphi<2\pi$,
$\psi$ аналогично.
Теперь если мы на первой карте положим $\Gamma=0$, то во вторую карту они пересчитаются очевидно в нули же. Суть тут в том, что формулы пересчета линейные.
Т.е., да, на торе связность можно задать нулевыми символами Кристоффеля.

[Munin]

Фигурные скобки можно включать в состав формул, они набираются \{ и \}.

[мат-ламер]

пианист
У меня к вам вопрос. Допустим мы задаём аффинную связность посредством символов Кристоффеля? Откуда она будет знать, что это тор? Карт в определении аффинной связности вроде нет. Картами задаётся многообразие. Аффинная связность однозначно определяется чисто символами Кристоффеля (ИМХО, поскольку только начинаю знакомиться с этим). Мне кажется, что дифференциальная геометрия изучает поверхности локально. Может правильно сказать "На торе можно локально ввести аффинную связность с нулевыми символами Кристоффеля"?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #918629 писал(а):

Карт в определении аффинной связности вроде нет.

Это как это. Это области определения аффинной связности как функции.

мат-ламер в сообщении #918629 писал(а):

Мне кажется, что дифференциальная геометрия изучает поверхности локально.

Всё гораздо хуже: она изучает не только поверхности, но и многообразия.

мат-ламер в сообщении #918629 писал(а):

Может правильно сказать "На торе можно локально ввести аффинную связность с нулевыми символами Кристоффеля"?

Если вы под тором понимаете бублик в 3-мерном евклидовом пространстве ($\bigl(\sqrt{x^2+y^2}-R_1\bigr)^2+z^2=R_2^2,$   $R_2>R_1$), то просто нельзя.

[amon]

Обсуждение явно не туда поехало. Я, пожалуй, могу пояснить что имел в виду уважаемый ТС. Есть двумерный периодический потенциал (кристалл). У него есть два вектора решетки. Можно перейти к "обратной решетке" произведя преобразование Фурье. Собственные значения Гамильтониана (энергии квазичастиц) будут периодическими функциями этого вектора обратной решетки, поэтому их можно ограничить на периоде и считать, что $E(k+2\pi/a)=E(k)$. Видимо, в этом месте тор и выплывает. Таких листов зависимости $E(k)$ много - при фиксированном $k_0$ имеется набор дискретный набор $E_i(k_0)$. Каждому листу $E_i(k)$ соответствует волновая функция $\Psi(k,i,x)=e^{ikx}U_k^i(x)$, ($i$ нумерует листы-зоны). Теперь мне интересно, как к этому можно присобачить символы Кристофеля на торе, и я замолкаю.

[g______d]

Munin в сообщении #918664 писал(а):

Если вы под тором понимаете бублик в 3-мерном евклидовом пространстве ($\bigl(\sqrt{x^2+y^2}-R_1\bigr)^2+z^2=R_2^2,$ $R_2>R_1$), то просто нельзя.

Почему нет? Аффинная связность не обязана быть согласована с метрикой, можно с плоского тора индуцировать.

[Munin]

g______d в сообщении #918708 писал(а):

Почему нет? Аффинная связность не обязана быть согласована с метрикой

А, ну если так, то да. Впрочем, я для этого специально написал "в... евклидовом...".

amon в сообщении #918699 писал(а):

Собственные значения Гамильтониана (энергии квазичастиц) будут периодическими функциями этого вектора обратной решетки, поэтому их можно ограничить на периоде и считать, что $E(k+2\pi/a)=E(k)$. Видимо, в этом месте тор и выплывает. Таких листов зависимости $E(k)$ много - при фиксированном $k_0$ имеется набор дискретный набор $E_i(k_0)$. Каждому листу $E_i(k)$ соответствует волновая функция $\Psi(k,i,x)=e^{ikx}U_k^i(x)$, ($i$ нумерует листы-зоны).

Вот я здесь всё понимаю, а как только начинается

quantum newbie в сообщении #918112 писал(а):

Каждый слой - это одномерное собств. пр-во (без нормировки волновой функции).

я впадаю в ступор.

А-а-а!!! Это одномерное подпространство в гильбертовом пространстве!!! Шайтан!

Всё, пошёл думать.

-- 14.10.2014 00:26:15 --

Так. Получается, расслоение всё-таки ни шиша не касательное. Вместо "символов Кристоффеля", надо говорить о связности на расслоении, о его кривизне, и о гомотопии (кажется).

-- 14.10.2014 00:31:12 --

Поскольку множество зон дискретно, то наиболее адекватный язык, как мне представляется - не расслоение (с непрерывным слоем), а накрытие многообразия. Но тут я плаваю.

Отождествлять тор с зоной Бриллюэна неправильно, поскольку, по-разному блуждая по тору, мы переходим из одной зоны Бриллюэна в другую и обратно.

[g______d]

quantum newbie в сообщении #918088 писал(а):

В конечном счёте я хочу понять, какую роль играет калибровка. Точнее, я хотел бы увидеть теорию, в которой необходимость фиксировать калибровку (секция расслоения) отсутствует.

Я не знаю, насколько внятно я отвечу, но попробую. Насколько я понимаю, Вы рассматриваете частицу в периодическом электромагнитном (ну или просто магнитном) поле. Гамильтониан выглядит как $-(i\nabla+\mathbf{A}(x))^2+V(x)$. Физика требует периодичности от магнитного поля, а не от потенциала, поэтому $\mathbf A$, вообще говоря, периодичным быть не обязан. После этого Вы раскладываете по блоховским решениям и получаете операторы
$-(i\nabla+\mathbf{A}(x)+\mathbf{k})+V(x)$ на торе. Возникает проблема: что такое $\mathbf{A}(x)$? Магнитное поле является периодической функцией, поэтому нет никаких проблем в его сужении на тор. Если бы тор был односвязным, то можно было бы ввести магнитный потенциал как однозначную функцию. Но это не так, поэтому нужно считать $\mathbf A$ либо разрывным, либо многозначным.

Выход состоит в том, чтобы рассматривать $\mathbf {A}$ не как функцию, а как связность в главном расслоении со слоем $S^1$ (окружность), тогда она будет определена однозначно.

-- Пн, 13 окт 2014 13:41:45 --

Munin в сообщении #918713 писал(а):

Отождествлять тор с зоной Бриллюэна неправильно, поскольку, по-разному блуждая по тору, мы переходим из одной зоны Бриллюэна в другую и обратно.

Ашкрофт и Мермин, глава 8. Область значений квазиимпульса всегда отождествляется с тором. Если мы прибавим к квазиимпульсу вектор обратной решетки, то получим унитарно эквивалентный оператор с теми собственными значениями.

[Munin]

g______d в сообщении #918721 писал(а):

Область значений квазиимпульса всегда отождествляется с тором.

Область значений квазиимпульса - да. Но не зону Бриллюэна. Потому что они пронумерованы (1-я зона, 2-я зона и так далее). Извините, что не уточнил.

[g______d]

Munin в сообщении #918750 писал(а):

Область значений квазиимпульса - да. Но не зону Бриллюэна. Потому что они пронумерованы (1-я зона, 2-я зона и так далее). Извините, что не уточнил.

Да. Просто я не уверен, что ТС вообще нужны зоны Бриллюэна здесь.

Мой комментарий про связности, кстати, относился к тому тору, который по $x$, а не тому, который по $\mathbf k$; я не очень понимаю, зачем нужны какие-то связности на втором торе, т. к. дифференцирования по $\mathbf k$ нет. С другой стороны, сама функция $\mathbf k$ (которая входит в оператор на торе-ячейке как параметр) тоже многозначная. На уровни энергии она не влияет, но на сами состояния влияет. И, действительно, при сдвиге $\mathbf k$ на период произойдет то же, что при сдвиге $\mathbf A$ на период по $x$: поменяется фаза блоховского решения. Наверное, можно $\mathbf A(x)+\mathbf k$ считать коэффициентом связности в расслоении со слоем $S^1$ сразу над обоими торами. Надо подумать.

[Munin]

g______d в сообщении #918755 писал(а):

я не очень понимаю, зачем нужны какие-то связности на втором торе

А вот тут, наверное, играет роль та ссылка на топологические диэлектрики, которую ТС мельком упомянул, но пока не раскрыл.

[g______d]

Munin в сообщении #918757 писал(а):

А вот тут, наверное, играет роль та ссылка на топологические диэлектрики, которую ТС мельком упомянул, но пока не раскрыл.

Ссылку мне тоже было бы интересно увидеть. Но в любом случае $\mathbf k$ ведет себя так же, как коэффициент некоторой связности, поэтому почему бы эту связность не ввести.