связность на торе

[quantum newbie]

Может ли быть связность с нулевым символом Кристоффеля в обычных (два угла) координатах тора?

[мат-ламер]

quantum newbie в сообщении #917879 писал(а):

Может ли быть связность с нулевым символом Кристоффеля в обычных (два угла) координатах тора?

Символы Кристофелля показывают, насколько одна система координат "нелинейна" или может быть точнее "криволинейна" относительно другой.

quantum newbie в сообщении #917879 писал(а):

в обычных (два угла) координатах тора?

Здесь формулы перехода существенно нелинейны и символы Кристоффеля отличны от нуля.

(Оффтоп)

Только начал знакомиться с тематикой. Возможно не так понял вопрос.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #917879 писал(а):

Может ли быть связность с нулевым символом Кристоффеля в обычных (два угла) координатах тора?

Смотря какого тора. Если вложенного в 3-мерное евклидово пространство, - то нет. Если вложенного в 4-мерное евклидово пространство (произведение двух окружностей), то может быть.

мат-ламер в сообщении #917928 писал(а):

Символы Кристофелля показывают, насколько одна система координат "нелинейна" или может быть точнее "криволинейна" относительно другой.

Вообще-то, нет. Вы спутали с якобианом. Символы Кристоффеля - "относительно метрики", а не "относительно другой системы координат".

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #917928 писал(а):

Только начал знакомиться с тематикой.

Почему у вас в последнее время всегда так: не знакомы, но отвечаете?

[мат-ламер]

Munin в сообщении #917937 писал(а):

Почему у вас в последнее время всегда так: не знакомы, но отвечаете?

В данном случае хочу проверить своё понимание вопроса. Я понимаю (возможно неправильно) символы Кристоффеля связаны исключительно с формулами перехода от одной системы координат к другой. (Причём тут метрика?) Пусть топик-стартер выпишет то, что он обозвал

Цитата:

в обычных (два угла) координатах тора?

Сколько букв в тех формулах? Подозреваю, что две греческих и три римских. Греческие задают одну систему координат. Римские - другую. Можно придумывать другие системы координат. Но тогда они не попадут под определение

Цитата:

в обычных (два угла) координатах тора?

[quantum newbie]

Munin в сообщении #917937 писал(а):

Если вложенного в 3-мерное евклидово пространство, - то нет.

Из 6 компонент 2 ненулевые. Но здесь нет симметрии отн. обмена углов местами.

Munin в сообщении #917937 писал(а):

Если вложенного в 4-мерное евклидово пространство (произведение двух окружностей), то может быть.

Подсмотрим.

Я рассматриваю 2-мерную зону Бриллюэна, поэтому симметрия отн. обмена углов местами обязательна. Предположил, что этот тор локально плоский.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #917937 писал(а):

мат-ламер в сообщении #917928 писал(а):

Только начал знакомиться с тематикой.

Почему у вас в последнее время всегда так: не знакомы, но отвечаете?

Никнейм он актуализирует. Нам это нужно периодически, for the great justice.

P.S. у меня две буквы, обе греческие.

-- 12.10.2014, 13:36 --

Почему вопрос задал: появилась в формуле $\nabla_v u$ двух сечений кас. расслоения BZ. Ломаю голову, как её посчитать.

[ratay]

Вообще-то связность - это инвариант, т.е. от координат не зависит. Скорее всего, ТС интересуется чем-то другим? Тогда, глядишь, это здесь и выяснится.

[пианист]

quantum newbie в сообщении #917952 писал(а):

появилась в формуле $\nabla_v u$ двух сечений кас. расслоения BZ

Что есть $BZ$?
Вы, м.б., лучше полностью условия задачи приведете?

[quantum newbie]

ratay в сообщении #917966 писал(а):

Вообще-то связность - это инвариант, т.е. от координат не зависит. Скорее всего, ТС интересуется чем-то другим? Тогда, глядишь, это здесь и выяснится.

У меня есть выделенная система координат.
Я хочу понять, какие вообще бывают связности и какая связность есть у меня. По физическим соображением при замене координат $(x,y)$ на $(y,x)$ формулы $\Gamma_{ij}^k$ должны примерно сохранить свой вид, поскольку пространство изотропно: есть два условно выделенных направления трансляции, но их порядок не выделен. Формулы для погружения в трехмерие выделяют одну из координат перед другой.

пианист в сообщении #917972 писал(а):

quantum newbie в сообщении #917952 писал(а):

появилась в формуле $\nabla_v u$ двух сечений кас. расслоения BZ

Что есть $BZ$?
Вы, м.б., лучше полностью условия задачи приведете?

Зона Бриллюэна, двумерный тор.
Задачи как таковой нет. Я пытаюсь понять, как математические формулы про кривизну и прочее соотносятся с тем, что пишут в статьях по топдиэлектрикам.
Метрический тензор тут сравнительно очевидный, а связность - нет.

[ratay]

Ну я имел в виду связность как число классов гомотопий, и для тора это 2, система координат там не участвует.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #917951 писал(а):

В данном случае хочу проверить своё понимание вопроса.

Ну тогда пишите не в таком безапелляционном ключе. Это, кстати, относится не только к данной теме.

мат-ламер в сообщении #917951 писал(а):

Я понимаю (возможно неправильно) символы Кристоффеля связаны исключительно с формулами перехода от одной системы координат к другой.

Это не называется "я понимаю", это называется "мне кажется". Неправильно кажется. Открываете определение, читаете, идём дальше.

мат-ламер в сообщении #917951 писал(а):

Сколько букв в тех формулах? Подозреваю, что две греческих и три римских.

Не факт.

quantum newbie в сообщении #917952 писал(а):

Из 6 компонент 2 ненулевые. Но здесь нет симметрии отн. обмена углов местами.

Правильно. И не должно быть (если вы представляете себе трёхмерный бублик).

quantum newbie в сообщении #917952 писал(а):

Я рассматриваю 2-мерную зону Бриллюэна

Если можно, нельзя ли поподробней? Пока непонятно даже, что вы зоной Бриллюэна называете.

ratay в сообщении #918028 писал(а):

Ну я имел в виду связность как число классов гомотопий

То есть, вообще не в кассу.

[quantum newbie]

Munin в сообщении #918072 писал(а):

Если можно, нельзя ли поподробней? Пока непонятно даже, что вы зоной Бриллюэна называете.

Да как обычно: множестно $S^1 \times S^1$ как область определения Гамильтониана после Фурье-образа.

[Munin]

Та-а-ак, немного яснее.

Переключаемся с "символов Кристоффеля" на "связность расслоения". Следующий вопрос - какое у вас расслоение на этом торе? Какую физ. величину вы рассматриваете?

-- 12.10.2014 19:39:53 --

А, всё-таки касательное расслоение, и связность правильно названа символами Кристоффеля.

Тогда в чём вопрос состоит, не понимаю. Ваш тор - вообще ни в какое внешнее пространство не вложен. Это чисто евклидов квадрат со склеенными противоположными сторонами ("мысленно склеенными"). Разумеется, символы Кристоффеля (если на квадрате выбрана декартова система координат) чисто нуль.

-- 12.10.2014 19:40:49 --

quantum newbie в сообщении #918000 писал(а):

Я пытаюсь понять, как математические формулы про кривизну и прочее соотносятся с тем, что пишут в статьях по топдиэлектрикам.

Видимо, многое станет яснее (хотя наверняка сложнее), если вы приведёте те статьи и формулы, с которыми столкнулись.

[quantum newbie]

Munin в сообщении #918078 писал(а):

Переключаемся с "символов Кристоффеля" на "связность расслоения". Следующий вопрос - какое у вас расслоение на этом торе? Какую физ. величину вы рассматриваете?

Тогда в чём вопрос состоит, не понимаю. Ваш тор - вообще ни в какое внешнее пространство не вложен. Это чисто евклидов квадрат со склеенными противоположными сторонами. Разумеется, символы Кристоффеля (если на квадрате выбрана декартова система координат) чисто нуль.

Значит, так бывает, нулевые символы Кристоффеля для тора?

Вообще, в данный момент я хочу найти кривизну какой-либо зоны (выраждения по энергии нет) как одномерного комплексного расслоения над BZ. Чтение и поиски привели меня к необходимости брать производные по направлению и скобочки Ли. Теперь я вроде понял, какая у меня связность и как считать производные по направлению. Буду с остальным разбираться.

-- 12.10.2014, 19:02 --

Munin в сообщении #918078 писал(а):

Видимо, многое станет яснее (хотя наверняка сложнее), если вы приведёте те статьи и формулы, с которыми столкнулись.

Я встречал два типа рассуждений. Одно брало из ниоткуда формулу $A=-i\psi^* d\psi$, и $F=dA$ в неконкретной калибровке и далее рассуждалось. Другое строило расслоение и выписывалась кривизна $\Omega=d\omega+\frac12[\omega,\omega]$ или какая-то вариация. Кстати, $F$ тоже кривизна (Берри?).

В конечном счёте я хочу понять, какую роль играет калибровка. Точнее, я хотел бы увидеть теорию, в которой необходимость фиксировать калибровку (секция расслоения) отсутствует.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #918088 писал(а):

Значит, так бывает, нулевые символы Кристоффеля для тора?

Да, разумеется!!! Смотря, что вы под тором понимаете. Не всякий тор - это бублик в 3-мерном пространстве, вот и всё.

На остальное не могу ответить - не хватает знаний. В частности, не понимаю, как энергия может стать расслоением. Мне кажется, что энергия - это сечение расслоения, и не комплексного, а действительного.

[quantum newbie]

Munin в сообщении #918107 писал(а):

quantum newbie в сообщении #918088 писал(а):

Значит, так бывает, нулевые символы Кристоффеля для тора?

На остальное не могу ответить - не хватает знаний. В частности, не понимаю, как энергия может стать расслоением. Мне кажется, что энергия - это сечение расслоения, и не комплексного, а действительного.

Расслаивается не энергия, а собств. состояние. Каждый слой - это одномерное собств. пр-во (без нормировки волновой функции).

Сами по себе дисперсионные кривые (объемных мод) не говорят, есть ли топология. Нужно на состояния смотреть. Но это уже не математика.