Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество

[popolznev]

$X$ - несчётное множество в сепарабельном нормальном топологическом пространстве. Может ли такое быть, чтобы $X$ не имело предельных точек?

Чую, что не может, но доказать не могу. Допустим, предельных точек у $X$ нет. Тогда, используя нормальность, можно каждую точку $x \in X$ окружить окрестностью, которая будет отделять $x$ от замыкания $X \setminus\{x\}$. Хочется положить в каждую такую окрестность по точке из счётного всюду плотного в $X$ множества и получить противоречие, потому что окрестностей несчётное множество. Но чтобы вышло противоречие, надо, чтобы окрестности попарно не пересекались, а вот этого я и не соображу, как добиться.

Где я слишком наивен?

[Someone]

popolznev в сообщении #916850 писал(а):

Но чтобы вышло противоречие, надо, чтобы окрестности попарно не пересекались, а вот этого я и не соображу, как добиться.

Вообще говоря, никак. Если пространство коллективно нормально, то получится.

По поводу основной задачи не знаю что сказать.

[popolznev]

Как сказал Шерлок Холмс, "Ай-ай-ай, как это скверно".

[Evgenjy]

В качестве возможной идеи.
У набора функций, рассматриваемых на отрезке $[0,1]$ ,
$(x-a)\sin\frac1{x-a}$ при $a\in[0,1]$
по-моему не будет предельных точек. В качестве объемлющего топологического пространства рассматриваются непрерывные ф-ции на этом отрезке.

[popolznev]

Да не, они должны быть близки при близких $a$: если $x$ рядом с $a$, то разность $(x-a)\sin \frac{1}{x-a} - (x-a-\delta)\sin \frac{1}{x-a-\delta} $ будет близка к 0, а подальше от точки $a$ - за счет непрерывности по параметру $a$. И вообще в метрических пространствах контрпримера наверняка не наловишь.

[Evgenjy]

На плоскости с обычной топологией провести линию. На линии в дополнение к обычной топологии ввести дискретную топологию. Может быть так?

[popolznev]

Не, топологию нельзя трогать: какая есть, такая есть. Иначе смысла нет в задаче.

[mihaild]

Вполне упорядочим $X$.
Пусть всем точкам $x$ из $X$, меньшим $x_0$, уже сопоставлены окрестности $U_x$, не пересекающиеся друг с другом, и замыкания которых не содержат других точек из $X$.
Т.к. $X \setminus {a} \mathop{\cup}\limits_{x < x_0} \overline{U_x}$ - замкнутое множество, его можно отделить от $x$. Окрестность, выполняющая это отделение, возьмем в качестве $U_{x_0}$.
Интересно, можно ли без аксиомы выбора.

[lyuk]

to mihaild
Непонятно откуда у Вас замкнутость множества $\cup_{x<x_0}\overline{U_x}$.

to popolznev
Попробуйте при условии $2^{\aleph_0}<2^{\aleph_1}$ (например, при условии CH) порассуждать, как с плоскостью Немыцкого (ее ненормальность, можно посмотреть в Энгелькинге).

При условии $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$ пока не вижу ответа.

[popolznev]

Да тут понимаете, lyuk, какое дело - это учебная задача, и по идее она должна решаться без привлечения таких вот, эээ, штук.

[мат-ламер]

А если рассмотреть множество функций $\sin ax,a>1$ ?

[lyuk]

Тогда может в условии вместо "несчетности" должна быть "континуальность"? В этом случае задача становится вполне себе учебной на использование известной идеи для доказательства ненормальности (плоскость Немыцкого и квадрат прямой Зоргенфрея).

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #917086 писал(а):

А если рассмотреть множество функций $\sin ax,a>1$ ?

В $C[0;1]$? Все его точки предельные.

-- 09.10.2014, 21:54 --

А с замкнутостью объединения я и правда поторопился. И не вижу, как это поправить.
Хотя из аксиомы выбора не будет ли сразу следовать, что $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$? (если будет, то править в любом случае бесполезно)

[lyuk]

Не будет. Это утверждение не зависит от аксиом.

[popolznev]

lyuk в сообщении #917089 писал(а):

Тогда может в условии вместо "несчетности" должна быть "континуальность"? В этом случае задача становится вполне себе учебной на использование известной идеи для доказательства ненормальности (плоскость Немыцкого и квадрат прямой Зоргенфрея).

"А вот это попробуем", как сказал не Шерлок Холмс, но тоже детектив.