Слой магнитных диполей

[Fgolm]

Рассматривается плоскопараллельное поле.
На отрезке длиной $\Delta l$ распределен слой магнитных диполей (фиктивные источники) с постоянной плотностью $\tau $ (рис.1.):

На рисунке показан участок двойного слоя (сверху; он вообще бесконечно тонкий, но я изобразил потолще). Этот отрезок создает в пространстве поле, которое определяется формулой:

$$\vec B = \frac{\tau }{{2\pi }}\int\limits_{ - \frac{{\Delta l}}{2}}^{\frac{{\Delta l}}{2}} {\frac{{2\vec r\left( {\vec r,\vec n} \right) - \vec nr^2 }}{{r^4 }}dx}$$

На том же рисунке, ниже показана система из двух линейных токов. Эти эквивалентные токи создают поле, картина которого совпадает ( ) с картиной поля, создаваемой слоем диполей. У меня получилось, что их величины должны быть равны: $i = \frac{\tau }{{\mu _0 }}$.
Первый вопрос, правильно я нашел эти токи (и вообще, эквивалентны ли системы)?
Второй вопрос - как будет выглядеть закон полного тока (для вектора индукции), для замкнутого контура, охватывающего половину рассматриваемого отрезка? Этот контур я нарисовал только на нижней картинке, но вообще, меня интересует закон полного тока для двойного слоя.
Верно ли, что он будет выглядеть так:
$\oint\limits_l {\vec Bd\vec l} = - \mu _0 i = - \tau $
где $i$ - эквивалентный ток, $B$ - вектор индукции магнитного поля, создаваемый двойным слоем (а, если есть еще источники, то и ими тоже)?

[Fgolm]

Вот, как я находил величину эквивалентных токов.
Рассчитал компоненты индукции магнитного поля в декартовой системе координат (компонент будет две, так как поле плоскопараллельное), создаваемое отрезком и двумя токами.
Поле, создаваемое слоем диполей определяется по формуле, приведенной в первом посте:
$B_x \left( Q \right) = \frac{\tau }{\pi }\int\limits_{ - \frac{{\Delta l}}{2}}^{\frac{{\Delta l}}{2}} {\frac{{\left( {x_Q - x_P } \right)y_Q }}{{\left( {\left( {x_Q - x_P } \right)^2 + y_Q^2 } \right)^2 }}dx_P } = \frac{{\tau y_Q }}{{2\pi }}\left( {\frac{1}{{x''_Q + y_Q^2 }} - \frac{1}{{x'_Q + y_Q^2 }}} \right) \ \ \ (1)$,
где $x''_Q = x_Q - \frac{{\Delta l}}{2}$, $x'_Q = x_Q + \frac{{\Delta l}}{2}$.
$B_y \left( Q \right) = \frac{\tau }{\pi }\int\limits_{ - \frac{{\Delta l}}{2}}^{\frac{{\Delta l}}{2}} {\frac{{y_Q^2 - \left( {x_Q - x_P } \right)^2 }}{{\left( {\left( {x_Q - x_P } \right)^2 + y_Q^2 } \right)^2 }}dx_P } = - \frac{\tau }{{2\pi }}\left( {\frac{{x''_Q }}{{x''_Q + y_Q^2 }} - \frac{{x'_Q }}{{x'_Q + y_Q^2 }}} \right) \ \ \ \ (2)$
Поле токов определяю по формуле:
$\vec B\left( Q \right) = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi }}\left( {\frac{{\left[ {\vec e_z ,\vec r^ + } \right]}}{{\left( {r^ + } \right)^2 }} - \frac{{\left[ {\vec e_z ,\vec r^ - } \right]}} {{\left( {r^ - } \right)^2 }}} \right)$,
кде ${r^ + }$, ${r^ - }$ - радиус-векторы, соединяющие соответствующий ток с точкой $Q$, в которой определяется поле.
Тогда

$$B_x \left( Q \right) = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi }}\left( { - \frac{{y_Q }}{{\left( {x_Q + \frac{{\Delta l}}{2}} \right)^2 + y_Q^2 }} + \frac{{y_Q }}{{\left( {x_Q - \frac{{\Delta l}}{2}} \right)^2 + y_Q^2 }}} \right) = \frac{{\mu _0 iy_Q }}{{2\pi }}\left( {\frac{1}{{x''_Q + y_Q^2 }} - \frac{1}{{x'_Q + y_Q^2 }}} \right) \ \ \ \ (3)$$

$B_y \left( Q \right) = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi }}\left( {\frac{{x_Q + \frac{{\Delta l}}{2}}}{{\left( {x_Q + \frac{{\Delta l}}{2}} \right)^2 + y_Q^2 }} - \frac{{x_Q - \frac{{\Delta l}}{2}}}{{\left( {x_Q - \frac{{\Delta l}}{2}} \right)^2 + y_Q^2 }}} \right) = - \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi }}\left( {\frac{{x''_Q }}{{x''_Q + y_Q^2 }} - \frac{{x'_Q }}{{x'_Q + y_Q^2 }}} \right) \ \ \ \ (4)$
Сопоставление $(1), (2), (3), (4)$ дает результат $i = \frac{\tau }{{\mu _0 }}$
Прошу проверить меня, так как дальнейшие мои выводы приводят не к тому, к чему бы хотелось (вдруг ошибку сделал? ).

[Александр Т.]

Fgolm писал(а):

Рассматривается плоскопараллельное поле.
На отрезке длиной $\Delta l$ распределен слой магнитных диполей (фиктивные источники) с постоянной плотностью $\tau $
....
Этот отрезок создает в пространстве поле, которое определяется формулой:

$$\vec B = \frac{\tau }{{2\pi }}\int\limits_{ - \frac{{\Delta l}}{2}}^{\frac{{\Delta l}}{2}} {\frac{{2\vec r\left( {\vec r,\vec n} \right) - \vec nr^2 }}{{r^4 }}dx}$$

На том же рисунке, ниже показана система из двух линейных токов. Эти эквивалентные токи создают поле, картина которого совпадает ( ) с картиной поля, создаваемой слоем диполей.

За исключением небольшого ньюанса, о котором во многих случаях можно и не упоминать. Силовые линии поля от двойного слоя испытывают разрыв при переходе через двойной слой. Строго говоря, функция, выражающая зависимость касательной проекции напряженности от длины пути вдоль замкнутой силовой линии, пересекающей (один раз) двойной слой, является обобщенной функцией, сингулярная часть которой представляет собой дельта-функцию Дирака так, что полный интеграл от нее вдоль силовой линии равен нулю. Во всяком случае, я придерживаюсь именно такой математической интерпретации эквивалентности токов и дипольных слоев, осознавая, что не все с ней могут согласится.

Fgolm писал(а):

У меня получилось, что их величины должны быть равны: $i = \frac{\tau }{{\mu _0 }}$.
Первый вопрос, правильно я нашел эти токи (и вообще, эквивалентны ли системы)?
Второй вопрос - как будет выглядеть закон полного тока (для вектора индукции), для замкнутого контура, охватывающего половину рассматриваемого отрезка? Этот контур я нарисовал только на нижней картинке, но вообще, меня интересует закон полного тока для двойного слоя.
Верно ли, что он будет выглядеть так:
$\oint\limits_l {\vec Bd\vec l} = - \mu _0 i = - \tau $
где $i$ - эквивалентный ток, $B$ - вектор индукции магнитного поля, создаваемый двойным слоем (а, если есть еще источники, то и ими тоже)?

Проверял довольно лениво. На знаки почти не обращал внимание. Вроде бы все правильно. Однако, в свете сделанного выше замечания интеграл по контуру равен вычисленному Вами значению лишь для поля токов, а для поля дипольного слоя он равен нулю. (Повторю, что с изложенной в замечании математической интерпретацией можно и не соглашаться. Более того, при решении физических задач ее игнорирование ни к каким противоречиям не приведет, т.к. магнитных зарядов не существует.)

Fgolm писал(а):

Прошу проверить меня, так как дальнейшие мои выводы приводят не к тому, к чему бы хотелось (вдруг ошибку сделал? ).

Может расскажите, что именно не так, как Вам хотелось бы?

[Fgolm]

Александр Т. писал(а):

Может расскажите, что именно не так, как Вам хотелось бы?

Да мысль сырая, нет смысла ее здесь излагать.
Для меня главное проверить правильность изложенного, чисто для подстраховки, а то бывает иногда - ошибкак какя-нибудь элементарная закрадется...

Александр Т. писал(а):

Однако, в свете сделанного выше замечания интеграл по контуру равен вычисленному Вами значению лишь для поля токов, а для поля дипольного слоя он равен нулю. (Повторю, что с изложенной в замечании математической интерпретацией можно и не соглашаться. Более того, при решении физических задач ее игнорирование ни к каким противоречиям не приведет, т.к. магнитных зарядов не существует.)

Но выше Вы писали, что циркуляция именно вектора напряженности равна нулю, а тут речь идет о циркуляции вектора магнитной индукции.
Ведь в случае реальных вторичных источников - микротоков, циркуляция вектора напряженности тоже будет равна нулю (если контур охватывает только микротоки, но не токи проводимости), а циркуляция вектора индукции, соответственно, нулю не равна.

[Александр Т.]

Fgolm писал(а):

Александр Т. писал(а):

Однако, в свете сделанного выше замечания интеграл по контуру равен вычисленному Вами значению лишь для поля токов, а для поля дипольного слоя он равен нулю. (Повторю, что с изложенной в замечании математической интерпретацией можно и не соглашаться. Более того, при решении физических задач ее игнорирование ни к каким противоречиям не приведет, т.к. магнитных зарядов не существует.)

Но выше Вы писали, что циркуляция именно вектора напряженности равна нулю, а тут речь идет о циркуляции вектора магнитной индукции.

Я имел в виду случай, когда источниками поля являются либо токи, либо эквивалентный им дипольный слой (т.е. не учел Ваше заключенное в скобках добавление к вопросу "а, если есть еще источники, то и ими тоже", поскольку не понял, что там речь идет о вторичных источниках). В этом случае напряженность равна индукции.

Fgolm писал(а):

Ведь в случае реальных вторичных источников - микротоков, циркуляция вектора напряженности тоже будет равна нулю (если контур охватывает только микротоки, но не токи проводимости), а циркуляция вектора индукции, соответственно, нулю не равна.

Точнее, (для рассматриваемого случая) циркуляция вектора индукции равна циркуляции вектора намагничивания (умноженной на $4\pi$ в гауссовой системе), которая может оказаться и равной нулю (подразумевается, что речь идет о постоянном поле, т.е. токи смещения равны нулю).

[Fgolm]

Александр Т. писал(а):

Строго говоря, функция, выражающая зависимость касательной проекции напряженности от длины пути вдоль замкнутой силовой линии, пересекающей (один раз) двойной слой, является обобщенной функцией, сингулярная часть которой представляет собой дельта-функцию Дирака так, что полный интеграл от нее вдоль силовой линии равен нулю.

А вид этой функции можете привести?

[Александр Т.]

Fgolm писал(а):

Александр Т. писал(а):

Строго говоря, функция, выражающая зависимость касательной проекции напряженности от длины пути вдоль замкнутой силовой линии, пересекающей (один раз) двойной слой, является обобщенной функцией, сингулярная часть которой представляет собой дельта-функцию Дирака так, что полный интеграл от нее вдоль силовой линии равен нулю.

А вид этой функции можете привести?

Эта функция - своя для каждого поля и для каждой силовой линии выбранного поля.

В качестве примера я рассмотрю поле попроще - поле прямолинейного тока бесконечной длины. Его силовые линии - окружности. Для окружности радиуса $r$ функция, выражающая зависимость касательной проекции напряженности $H$ от длины пути вдоль силовой линии $l$, отсчитываемой от некоторой выбранной точки силовой линии, имеет вид (в гауссовой системе единиц)
(1)

$$H(l)=\dfrac{2J}{cr}$$

,
где $J$ - сила тока, $c$ - скорость света. Для данного поля $H$ от длины пути не зависит, т.е. является постоянной.

Этому полю соответствует поле дипольной полуплоскости с границей на прямой линии, по которой протекает эквивалентный ток. Поверхностная плотность дипольного момента на полуплоскости - постоянна и равна $m_\text{s}=J/c$. Функция $H(l)$ имеет вид
(2)

$$H(l)=\dfrac{2J}{cr}-4\pi{m_\text{s}}\delta(l)$$

,
где $l$ отсчитывается от точки пересечения силовой линии с дипольной полуплоскостью.

Интеграл по витку силовой линии от функции (1) равен $4\pi{J}/c$, а от функции (2) - нулю, как и должно быть.

Рекомендую (если есть возможность) прочитать \S57 книги "Сивухин.Общий курс физики. т.III Электричество." (стр.241-244 издания 1977г.). Там эквивалентность токов и магнитных листков (дипольных поверхностей) по-моему очень хорошо изложена.

Немного в сторону от темы хочу (раз уж столько уже всего понаписал) добавить следующее. В свете вышеизложенного вроде-бы очень хорошо видно, что с точки зрения классического (в смысле неквантового) электромагнетизма одновременное существование магнитных монополей и электрических токов приводит к возможности создания вечного двигателя (причем первого рода). Действительно, предоставляя возможность магнитному монополю с положительным зарядом двигаться вдоль замкнутой силовой линии магнитного поля тока, можно расходовать энергию, полученную в виде работы поля над монополем, на что-нибудь полезное. У меня правда остаются сомнения, что при учете поля движущегося монополя может оказаться, что оно будет как-то уменьшать электрический ток (замедляя движение электрических зарядов).