Линейное уравнение в частных производных II порядка.

[DLL]

Есть известный результат, что при помощи замены переменных всегда можно преобразовать линейное ОДУ 2-го порядка

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + A(x) \frac{dy}{dx} + B(x) y = 0,$$

к простейшему виду

$$\frac{d^2 u}{dt^2} = 0.$$

Допустим мы теперь рассматриваем линейное уравнение в частных производных второго порядка (гиперболическое):

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + A(x,y) \frac{\partial z}{\partial x} + B(x,y) \frac{\partial z}{\partial y} + C(x,y) z = 0.$$

Можно ли его привести к какому-то более простому виду?

[Red_Herring]

DLL в сообщении #916514 писал(а):

Есть известный результат, что при помощи замены переменных всегда можно преобразовать линейное ОДУ 2-го порядка

Ссылочку не подбросите? Я подозреваю, что вся трудность искусственно запихивается в нахождение этой замены. Разумеется, в приведенном Вами ОДУ можно занулить $A(x)$, но в общем случае полученное уравнение содержательно не будет проще, чем исходное.

В приведенном Вами УЧП можно занулить $A(x,y)$ или $B(x,y)$, но в общем случае полученное уравнение содержательно не будет проще, чем исходное.

[DLL]

Цитата:

Ссылочку не подбросите?

Например: Ибрагимов "Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования" (2007, с. 266).

Цитата:

Я подозреваю, что вся трудность искусственно запихивается в нахождение этой замены.

Само собой. Иначе бы все линейные ОДУ 2-го порядка решались бы мгновенно!

В данном случае, меня не интересует конструктивность нахождения этой замены, а лишь принципиальная возможность...

[Red_Herring]

DLL в сообщении #916548 писал(а):

Например: Ибрагимов "Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования" (2007, с. 266).

Страница 146, и канонический вид $y''+\alpha(x)y=0$. На стр 263 действительно уравнение приводится к виду $u''=0$, но для этого надо знать хотя бы одно решение и преобразование включает в себя замену и $x$ и $y$.

На Ваш вопрос ответ знает вряд ли кто, кроме самого Наиля Ибрагимова: он крупнейший (и скорее всего единственный) специалист по групповым св-вам ДУ.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #916543 писал(а):

В приведенном Вами УЧП можно занулить $A(x,y)$ или $B(x,y)$

А одновременно оба - можно? Клейн-Гордон получился бы, а дальше уже не упростишь.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #916776 писал(а):

А одновременно оба - можно? Клейн-Гордон получился бы, а дальше уже не упростишь.

Ну если только $A_x=B_y$ то можно заменой $u=e^{\phi}v$

[Munin]

А, вы про везде...

[пианист]

Преобразование, связывающее два оду найдено, полагаю, так: глядя на вид допускаемой точечной группы (она д.б. в алгебраическом смысле одинакова).
Можно попытаться так же действовать и применительно к учп.

[DLL]

Red_Herring в сообщении #916786 писал(а):

Munin в сообщении #916776 писал(а):

А одновременно оба - можно? Клейн-Гордон получился бы, а дальше уже не упростишь.

Ну если только $A_x=B_y$ то можно заменой $u=e^{\phi}v$

А если $A_x \neq B_y$, то можно решить этот вопрос домножением на интегрирующий множитель $\mu$

[Red_Herring]

DLL в сообщении #916895 писал(а):

А если $A_x \neq B_y$, то можно решить этот вопрос домножением на интегрирующий множитель $\mu$

Какой-такой интегрирующий множитель? Тут ведь есть член со смешанной второй производной, который на то сильно обидится!

[DLL]

Да, вы правы - член со второй производной все портит