Решётка и точные верхние и нижние грани множества

[AlX32]

Добрый день, объясните, пожалуйста, откуда вытекают следующие соотношения?
$\sup(a,b) = a \vee b$
$\inf(a,b) = a \wedge b$

Цитата:

Ответ на вопрос "как это получается" зависит от используемого определения решетки.

Это понятно, но, дело в том, что определение решётки вводится как раз после равенств, которые определены для двухэлементных множеств там.

Я, честно говоря, не знаю, какие тут попытки решения могут быть. Может быть, я что-то не так рассматриваю?
Как a, так и b могут быть и верхними, и нижними гранями. Почему "И" именно в случае точной нижней грани?
Вспомогательная информация из источника:
Определение решётки:

Цитата:

Решёткой называется частично упорядоченное множество, у которого для любого двухэлементного подмножества существуют точные верхние и нижние грани.

С гранями всё стандартно, определяются как элемент $x$ универсума $U$ для множества A( $a \in A$ ) , где $\forall x, x \le / \ge a$.
Точная верхняя грань - наименьший элемент множества верхних граней, точная нижняя - наибольший элемент множества нижних граний.

[Brukvalub]

Ответ на вопрос "как это получается" зависит от используемого определения решетки.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

AlX32
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Еще раз: приведите все необходимые определения.

[AlX32]

Lia в сообщении #916327 писал(а):

Интересное кино. Как Вы конъюнкцию (в логическом смысле) между элементами произвольного вполне упорядоченного множества понимаете?

Судя по всему, именно это я и не понимал, т.е. проблема была не в гранях и решётке.
Логические операции рассматривал лишь для высказываний.

[Lia]

Проблема в том, что Вы их воспринимаете как логические, что не вполне соответствует реальности. Посмотрите определение этих операций. Наиболее вероятно, что именно его Вы привели в первых строках этой темы (если читать справа налево), прося объяснить. Если это так, то Вы ж понимаете, что это ни к чему.

Значок тот же. По ряду причин. Это может сбивать с толку.

[AlX32]

Lia в сообщении #916333 писал(а):

Проблема в том, что Вы их воспринимаете как логические, что несколько не соответствует реальности. Посмотрите определение этих операций. Наиболее вероятно, что именно его Вы привели в первых строках этой темы (если читать справа налево), прося объяснить. Если это так, то Вы ж понимаете, что это ни к чему.

Значок тот же. По ряду причин. Это может сбивать с толку.

Если рассматривать равенства в первом посте как определения как раз дизъюнкции и конъюнкции для элементов множества, то я могу только предположить, по аналогии с логикой, что $a \vee b$ равняется наибольшему из этих элементов, а $a \wedge b$ - наименьшему. Сомневаюсь, что это правильная трактовка.
Вот с Википедии:

Цитата:

С точки зрения теории множеств, конъюнкция аналогична операции пересечения.

Но одноэлементные множества при различных элементах не пересекаются.

[Otta]

А кроме Википедии ничего у Вас нет?

Пусть есть множество $M$ всех подмножеств плоскости. Упорядочено по включению. Что является точной верхней гранью пары элементов этого множества $a=\{(x,y)\colon x\ge 0\}$ и $b=\{(x,y)\colon y\ge 0\}$? точной нижней гранью?

[arseniiv]

AlX32
Тут $\vee$ и $\wedge$ — это в общем случае другие операции, которые так и называются «верхняя грань» и «нижняя грань». Их можно называть дизъюнкцией и конъюнкцией, если решётка — булева алгебра. Видимо, равенства под вопросом — это просто дополнительные соглашения об обозначениях и не более, или это определения на основе уже (если) имеющихся $\sup$ и $\inf$, и в такиъ случаях эти равенства не надо доказывать (верны по определению), но вы так и не привели свои определения решётки, и сказать ничего с точностью нельзя.

[AlX32]

arseniiv, Спасибо.

Цитата:

но вы так и не привели свои определения решётки, и сказать ничего с точностью нельзя.

Почему же?

Цитата:

Решёткой называется частично упорядоченное множество, у которого для любого двухэлементного подмножества существуют точные верхние и нижние грани.

Частично упорядоченное множество - множество, на котором задано отношение частичного порядка, т.е. рефлексивное( $ \forall x, xRx $ ), транзитивное ($ \forall x,y,z, xRy, yRz \Rightarrow xRz $ ) и антисимметричное ($ \forall x,y, xRy \vee yRx \Rightarrow x = y $ ).
Otta, точной верхней гранью множества будет оно само, т.е. $a \cup b$, нижней не могу сказать( из контекста разговора могу предположить, что $a \cap b$ ).

[arseniiv]

(Оффтоп)

AlX32 в сообщении #916374 писал(а):

Почему же?

А, нет мне извинения, весь день сегодня читаю неаккуратно.

Ну, видимо, значит, не надо ничего доказывать. Хотя интересно и что было перед теми равенствами.

А вот с гранями вы напутали. Само множество никак не может быть своей верхней или нижней гранью — а только какой-то его элемент.

[AlX32]

Хотя нет, бред какой-то написал. Грань - это всё же элемент, а не множество.

-- 08.10.2014, 01:13 --

arseniiv, да, дошло как раз.
Но чего-то не пойму, по какому критерию в примере Otta( к примеру претензий 0, очень важный пример, просто я не пойму ) определить, какая из полуплоскостей больше. По-моему, они не сравнимы, а, следовательно, понятие наибольшего/максимума( и наим./мин. ) определено не может быть, отсюда и граней не существует.

[Otta]

А никто не сказал, что какая-то из них больше. Но т.в.г. есть. ) Ищите. По определению.

[AlX32]

Otta в сообщении #916382 писал(а):

А никто не сказал, что какая-то из них больше. Но т.в.г. есть. ) Ищите. По определению.

Хммм...
Ну вот в множестве "плоскость $xOy$ " есть только два элемента a и b. Какой-то из этих элементов должен быть верхней гранью/
Другое дело, что в мн. a т.н.г. есть $0$, как и в множестве `b`.

[Otta]

Так определение-то какое? Давайте воспроизведем его для Вашей ситуации и отношения порядка.

(Оффтоп)

И пишите буковки в доллырях, вот так: $a$, а то придет злой модератор и сделает больно. 8-)

-- 08.10.2014, 03:47 --

AlX32 в сообщении #916385 писал(а):

Хммм...
Ну вот в множестве "плоскость $xOy$ " есть только два элемента a и b. Какой-то из этих элементов должен быть верхней гранью/
Другое дело, что в мн. a т.н.г. есть $0$, как и в множестве `b`.

И потом, как Вы читаете? У Вас и множество другое, вовсе не плоскость. Прочитайте еще раз.

Otta в сообщении #916347 писал(а):

Пусть есть множество $M$ всех подмножеств плоскости. Упорядочено по включению. Что является точной верхней гранью пары элементов этого множества $a=\{(x,y)\colon x\ge 0\}$ и $b=\{(x,y)\colon y\ge 0\}$? точной нижней гранью?