Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Продолжение

Предположим, что вероятность натурального числа $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

Найдем характеристики вероятностной модели 2 для последовательности простых чисел.

Учитывая предположение, математическое ожидание случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (35) равно:

$M(I(x))=\sum_{i = 1}^{x}{p_i}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $. (39)

Учитывая предположение, дисперсия случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (36) равна:

$$D(I(x))= \sum_{i = 1}^{x}{p_i-\sum_{i = 1}^{x}(p_i)^2}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 1}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $. (40)

Для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|I(x)-\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}|<C\sqrt{\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}) \approx F(C)$, (41) где $F(C)$ - значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность выполнения соотношения (41) была сколь угодно близка к 1.

Сравнение вероятностных моделей 1 и 2 для последовательности простых чисел приводится далее.

[vicvolf]

Сравнение вероятностных моделей 1 и 2 для последовательности простых чисел

Подставим в фомулу для дисперсии в выражение (22) вероятностной модели 1 функцию наилучшего приближения для $o(1/\ln(x)$, определяемую по формуле (26): $1/\ln^2(x)+...+(r-1)!/\ln^r(x)+O(1/\ln^{r+1}(x))$.

После данной подстановки мы получим формулу (41) модели 2.

Совпадающие результаты получены с помощью принципиально разных вероятностных моделей, что говорит в пользу полученного результата.

Скажем так, что вероятность ошибки, равная произведению вероятностей ошибок по каждой модели в отдельности, значительно снизилась.

Теперь несколько слов о самом результате.

Сравним формулу первого приближения рассмотренных моделей: $P(|\pi(x)-Li(x)|<C\sqrt{x/\ln(x)}) \approx F(C)$, (42)

с формулой, получаемой при предположении справедливости гипотезы Римана: $|\pi(x)-Li(x)|<C\sqrt{x}\ln(x)$ (43).

Мы видим, что формула (42) является более сильной.

Однако, если формула (43) справедлива для всех $x$, начиная с некоторого $x_0$, то формула (42) выполняется только с вероятностью $F(C)$ (функция стандарного нормального распределения в точке $C$).

Следовательно, формула (42) может быть использована, когда допустим результат с определенной степенью точности. Например, при $C=2,5$ формула (42) верна с точностью до 3 знака.

Интересно мнение участников форума в отношении вероятностных моделей.

Постараюсь ответить на вопросы. Буду благодарен за замечания и предложения!

[Deggial]

vicvolf в сообщении #914796 писал(а):

функцию наилучшего приближения для $o(1/\ln(x)$, определяемую по формуле (26): $1/\ln^2(x)+...+(r-1)!/\ln^r(x)+O(1/\ln^{r+1}(x))$.

подобные высказывания, как всегда, определённо доставляют.

[vicvolf]

Продолжение

Сделаем уточнение вероятностной модели 1 для случая, когда в качестве o(1/\ln(x)) взята функция:
$f(x)=\sum_{i = 1}^{\infty}{(i-1)/\ln^i(x)}=Li(x)/x-1/\ln(x)$. (44)

Подставим функцию $f(x)$ (44) в формулу для дисперсии для $I(x)$ в вероятностной модели 1 и получим:
$D_1(I(x))=Li(x)(1-Li(x)/x)=Li(x)-Li^2(x)/x=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\frac{(\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)})^2}{x}$. (45)

Сравним (45) с дисперсией случайной величины вероятностной модели 2:
$D_2(I(x))=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$. (46)

Для сравнения используем частный случай неравенства Коши-Буняковского:
$(\int_{2}^{x}u(x)v(x)dx)^2 \leq \int_{2}^{x}u^2(x)dx \cdot \int_{2}^{x}v^2(x)dx$. (47)

Если $u(x)=1$ и $v(x)>0$, то(47) запишется в виде:
$\frac{(\int_{2}^{x}v(x)dx)^2}{x-2} \leq \int_{2}^{x}v^2(x)dx$. (48)

На основании (48) для больших $x$ справедливо соотношение:
$\frac{(\int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln(t)})^2}{x} \leq \int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2(t)}$. (49)

На основании (49): $D_2(I(x)) \leq D_1(I(x))$. (50)

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Для дисперсий вероятностных моделей 1 и 2 справедлива следующая оценка сверху:
$D_2(I(x)) \leq D_1(I(x)) \leq Li(x)$. (51)

Естественно возникает вопрос о справедливости указанных вероятностных моделей, так как все оценки для отклонения $R(x)=|\pi(x)-Li(x)|$ более жесткие, чем оценка $R(x)<cx^{0,5} \ln(x)$, сделанная в предположении справедливости гипотезы Римана.

Для того, чтобы опровергнуть данные вероятностные модели надо найти уже доказанную оценку снизу для $R(x)$, которая с некоторого $x$ имеет порядок больший, чем $\sqrt {D_2(I(x))}=\sqrt {\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}$.

Наоборот, чтобы подтвердить данные вероятностные модели надо найти уже доказанную оценку снизу для $R(x)$, которая с некоторого $x$ имеет порядок меньший, чем $\sqrt {D_2(I(x))}=\sqrt {\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}$.

В работе Литлвуда, выполненной еще в 1914 году, т.е. ровно 100 лет назад, содержится такая оценка.
Литлвуд показал, что $R(x)$ при $x$ стремящемся к бесконечности не может быть величиной меньшего порядка, чем $\frac{\sqrt {x}\ln\ln\ln(x)}{\ln(x)}$. (52) (см. стр 16 Прахар "Распределение простых чисел").
Поэтому достаточно сравнить порядок квадрата функции (52) с $D_2(I(x))=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$.

Найдем предел:

$$A=\lim_{x \to \infty}{\frac{x\ln^2(\ln\ln(x))}{\ln^2(x)(\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)})}.(53)$$

Используя правило Лопиталя и нахождение производной по верхнему пределу интегрирования получим, что (53) равно: $A=\lim_{x \to \infty}{\frac{\ln^2(\Ln\ln(x))}{\ln(x)}+2\lim_{x \to \infty}{\frac{\ln\ln\ln(x)}{(\ln\ln(x)) \ln^2(x)}=0$, (54) так как оба выражения в сумме стремятся к 0.

Следовательно, функция (52) является величиной меньшего порядка, чем $\sqrt {D_2(I(x))}=\sqrt {\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}$, что подтверждает правильность оценок в вероятностных моделях 1 и 2.

На самом деле, можно проверить , что $\sqrt {D_2(I(x))}$ имеет порядок даже больший, чем $\frac{\sqrt {x}\ln\ln(x)}{\ln(x)}$.

Отвечу на вопросы. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Теперь рассмотрим вероятностные оценки распределения простых чисел в арифметической прогрессии.

Для этого рассмотрим вероятностную модель 3.

Пусть имеется арифметическая прогрессия $f(i)=ki+l$, где $(k,l)=1$.

Напишем значения: $f(0)=l, f(1)=k+l, f(2)=2l+1,...f(n)=x$ на разных шарах, неразличимых на ощупь, и положим их в урну и перемешаем.

Выберем из урну наугад первый шар и присвоим значение случайной величине индикатору успеха $I_1=1$, если первый вынутый шар будет иметь номер, являющейся простым числом, и $I_1=0$ - если нет.

Затем вернем шар в урну, перемешаем их и вынем наугад второй шар из урны и присвоим значение случайной величине индикатору успеха $I_2=1$, если второй вынутый шар будет иметь номер, являющейся простым числом, и $I_2=0$ - если нет, и.т.д. $x/k$ раз.

Так как шары возвращаются в урну, то случайные величины $I_i$ независимы и вероятность выбрать наугад простое число в каждом испытании $p_i$ равны между собой $p_i=p$.

Мы уже рассматривали характеристики данной случайной величины:
$M(I_i)=p$, $D(I_i)=p(1-p)$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Плотность последовательности простых чисел $g(n)$ в последовательности арифметической прогрессии определяется по формуле: $P(g/f,1,n)=\pi(g,1.n)/\pi(f,1,n)$, (54)
где $\pi(g,1.n),\pi(f,1,n)$ - соответственно количество простых чисел и количество членов арифметической прогрессии на интервале натурального ряда $[1,n)$.

Как указывалось ранее плотность $P(g/f,1,n)$ является конечной вероятностной мерой на интервале натурального ряда $[1,n)$.

Поэтому на основании (54) и теоремы Дирихле вероятность, что выбранный наугад шар имеет номер, являющейся простым числом равна:
$p=k/\phi(k)(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$, (55)
где $\phi(k)$ - функция Эйлера.

Рассмотрим случайную величину:
$I(x,k)=\sum_{i=1}^{x/k}(I_i)$. (56)

Учитывая линейность математических ожиданий получаем и (55):
$M(I(x,k))=(xp)/k=x(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))/\phi(k) $. (57)

Продолжение следует.

[vicvolf]

Чтобы не было недоразумений вернусь к общепринятому обозначению функции Эйлера.

Поэтому на основании (54) и теоремы Дирихле вероятность, что выбранный наугад шар имеет номер, являющейся простым числом равна:
$p=k/\varphi(k)(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$, (55)
где $\varphi(k)$ - функция Эйлера.

Рассмотрим случайную величину:
$I(x,k)=\sum_{i=1}^{x/k}(I_i)$. (56)

Учитывая линейность математических ожиданий получаем и (55):
$M(I(x,k))=(xp)/k=x(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))/\varphi(k)$. (57)

Учитывая независимость случайных величин $I_i$ дисперсия случайной величины $I(x,k)$ равна:

$$D(I(x,k))=xp(1-p)/k=\frac{x}{\varphi(k)}(1/\ln(x)+o(1/\ln(x)) [1-(\frac{k}{\varphi(k)}(1/\ln(x)+o(1/\ln(x)))].(58)$$

[vicvolf]

Продолжение

Поясню, что случайная величина $I(x,k)$ в вероятностной модели 3 равна количеству членов арифметической прогрессии $f(n)=kn+l$, $(k,l)=1$, которые яляются простыми числами.

Сделаем уточнение вероятностной модели 3 для случая, когда в качестве o(1/\ln(x)) взята функция:
$f(x)=\sum_{i = 1}^{\infty}{(i-1)/\ln^i(x)}=Li(x)/x-1/\ln(x)$.

Подставим функцию $f(x)$ в формулу для математического ожидания (57) случайной величины $I(x,k)$ в вероятностной модели 3 и получим:

$M_3(I(x,k))=\frac {1}{\varphi(k)}Li(x)$, (59) где $Li(x)=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}$.

Подставим функцию $f(x)$ в формулу для дисперсии (58) случайной величины $I(x,k)$ в вероятностной модели 3 и получим:

$$D_3(I(x,k))=\frac {1}{\varphi(k)}Li(x)[1-\frac {kLi(x)}{\varphi(k) x}]=\frac {Li(x)}{\varphi(k)}-\frac {k Li^2(x)}{\varphi^2(k) x}.(60)$$

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Случайная величина $I(x,k)$ является суммой взаимно-независимых случайных величин $I_i$ c ограниченной дисперсией, т.е. имеет биномиальное распределение.

На основании теоремы Муавра-Лапласа предельное распределение $I(x,k)$ является нормальным, поэтому при больших $x$ справедливо выражение:

$P(|I(x,k)-M(I(x,k))|<C\sqrt {D(I(x,k))} \approx F(C)$. (61)

Подставляя в выражение (61) характеристики случайной величины $I(x,k)$, определяемые по формулам (57) и (58), получим:

$P(|I(x,k)-x(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))/\varphi(k)|<$ $C\sqrt {\frac{x}{\varphi(k)}(1/\ln(x)+o(1/\ln(x)) [1-(\frac{k}{\varphi(k)}(1/\ln(x)+o(1/\ln(x))])} \approx F(C)$.(62)

Подставляя в выражение (61) характеристики случайной величины $I(x,k)$, определяемые по формулам (59) и (60), получим:

$P(|I(x,k)-\frac {1}{\varphi(k)}Li(x)|<C\sqrt {\frac {Li(x)}{\varphi(k)}- \frac {k Li^2(x)}{\varphi^2(k) x}} \approx F(C)$. (63)

Таким образом, на основании выражения (63) можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность события $(|I(x,k)-\frac {1}{\varphi(k)}Li(x)|<C\sqrt {\frac {Li(x)}{\varphi(k)}- \frac {k Li^2(x)}{\varphi^2(k) x}}$ была сколь угодно близка к 1.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Уточним, что формулы (61), (62) и (63) справедливы при больших значениях $x/k$.

Анализ вероятностной модели 3

В данной модели, как и в модели 1, шар, после того, как его выбрали, снова возвращается в корзину.

Поэтому в этой модели существует вероятность выбрать один и тот же шар несколько раз.

В реальной ситуации, когда подсчитывается количество простых чисел, принадлежащих арифметической прогрессии $kx+l, (k,l)=1$ на интервале натурального ряда от 1 до $x$, такой ситуации не бывает.

Поэтому требуется уточнение вероятностной модели 3.

Продолжение следует.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #914518 писал(а):

Учитывая предположение, математическое ожидание случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (35) равно:
$M(I(x))=\sum_{i = 1}^{x}{p_i}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $. (39)
Учитывая предположение, дисперсия случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (36) равна:
$$D(I(x))= \sum_{i = 1}^{x}{p_i-\sum_{i = 1}^{x}(p_i)^2}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 1}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $. (40)

Сделаю уточнение вероятностной модели 2.
$M(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $. (39)
$$D(I(x))= \sum_{i = 2}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $. (40)

Естественно возникает вопрос в отношении знака приблизительно в формулах (39) и (40).

В работе topic62088-105.html было доказано:

Утверждение 4
Пусть последовательность f(n) на интервале от А до бесконечности имеет асимтотическую плотность $P(f,A,x)$ с непрерывной, монотонно-убывающей функцией F(x). При этом $\lim \limits_{x \to \infty} {F(X)}=0$. Тогда $\sum_{i=1}^{N}{F(i)}-\int_{A}^{N}{F(t)dt}=C + O(F(N)). (13)$

Из утверждения 4 вытекает $\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx} =C+O(F(n)).$.

Таким образом, $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$

Оценка постоянной С сверху дана в утверждениях 5 и 6.

Утверждение 5
Пусть на интервале [$A,\infty$) существует функция F(x), обладающая следующими свойствами:
1. $\lim \limits_{x \to \infty} {F(x)}=0.$
2. Имеет производные нужного порядка.
3. $F^{(2k-1)}(x)<0$.
4. $|\frac {B_{2k}(2K)!F^{(2k+1)}(A)} {B_{2k+2}(2k+2)!F^{(2k-1)}(A)}|<1,$ где $B_n$ - n-ое число Бернулли.
Тогда $C\leq F(A)/2+|F'(A)|/12,$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.(14)$

Утверждение 6
Для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ на интервале [$A,\infty$) выполняется следующая оценка:
$C<0,6202F(k+1),(17)$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$

На основании утверждения 4 получаем оценки:

$\sum_{i=2}^{x}{1/\ln(i)}-\int_{2}^{x}{ dt/\ln(t)} =C_1+O(1/\ln(x)).$

$\sum_{i=2}^{x}{1/\ln^2(i)}-\int_{2}^{x}{ dt/\ln^2(t)} =C_2+O(1/\ln^2(x)).$

На основании утверждений 5 и 6 получаем оценки сверху:

$C_1<0,8948, C_2<0,6783$.

Поэтому при больших значениях $x$ эти величины пренебрежимо малы.

Функция: $1/\ln(x)-1/\ln^2(x)$ монотонно убывает только при $x>7$, поэтому только на этом интервале можно применить утверждение 4.

Поэтому подсчитаем отдельно сумму и интеграл на интервале от 2 до 7. Сумма равна $0,117$, а интеграл - $0,7119$.

С учетом разницы между суммой и интегралом на интервале от 2 до 7 общая оценка постоянной для дисперсии будет равна $|C_3|<0,47$, т.е. также пренебрежимо мала.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Вероятностная модель 4

Рассмотрим вероятностную модель 4, свободную от недостатков вероятностной модели 3.

Возьмем $n$ шаров, неразличимых на ощупь. Пронумеруем их последовательными числами, входящими в арифметическую прогрессию $ki+l, (k,i)=1$.

Таким образом, мы получим шары с номерами: $l,k+l, 2k+l,...nk+l=x$.

Разложим шары в урны. В каждую урну положим один шар. В какой урне и с каким номером лежит шар неизвестно.

Достанем шар из 1-ой урны и если его номер является простым числом, то будем считать это успехом и присвоим случайной величине-индикатора успеха $I_1=1$ с вероятностью $p_1$. В противном случае присвоим случайной величине $I_1=0$ , с вероятностью - $1-p_1$.

Выберем шар из 2-ой урны и если его номер является простым числом, то будем считать это успехом и присвоим случайной величине-индикатора успеха $I_2=1$ с вероятностью $p_2$. В противном случае присвоим случайной величине $I_2=0$ , с вероятностью - $1-p_2$ и.т.д. $n$ раз.

Так как шары не возвращаются в урны, то после последнего выбора шаров в урнах шаров не остается. Поэтому невозможно выбрать шар с одинаковым номером несколько раз.

После завершения процесса выборки шаров мы получим последовательность случайных величин: $I_1,I_2,...I_n$.
Мы уже определяли характеристики случайных величин индикаторов успеха: $M(I_i)=p_i, D(I_i)=p_i(1-p_i)$.

Рассмотрим случайную величину $I(n)=\sum_{i=1}^{n}(I_i)$.
Мы уже определяли характеристики случайной величины $I(n)$ в вероятностной модели 2:
$M(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i), D(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i)(1-p_i)$.

Предположим, что вероятность выбрать наугад шар с номером, являющейся простым числом $x$ в вероятностной модели 4 -$k/\varphi(k)\ln(x)$. (64)

Продолжение следует.

[vicvolf]

Сначала уточню:
Мы получим шары с номерами: $k+l, 2k+l,...nk+l=x$ - всего n шаров. Значение $k+l \geq 2$

Найдем математическое ожидание случайной величины $I(n)$:
$M(I(n))=k/\varphi(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln(ki+l)} \approx k/\varphi(k) \int_{t=1}^{n} \frac {dt}{\ln(kt+l)}$. (65)

Знак приблизительно в формуле (65) надо рассматривать аналогично последнему сообщению, т.е. при больших значениях $t$ разница между суммой и интегралом пренебрежимо мала.

Сделаем замену переменных в выражении (65) $u=kt+l$ и получим:
$M(I(n)) \approx k/\varphi(k) \int_{t=1}^{n} \frac {dt}{\ln(kt+l)}=k/k\varphi(k)\int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}=1/\varphi(k) \int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}$. (66)

Выражение (66) можно записать в виде:
$M(I(n)) \approx 1/\varphi(k) \int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}=1/\varphi(k)[Li(x)-\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln(u)}]$. (67)

Величина интеграла в выражении (67) ограничена $\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln(u)}<(k+l-2)/\ln(2)$ и при больших значениях $x$ справедливо соотношение:
$M(I(n)) \approx Li(x)/\varphi(k)$. (68)

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Дисперсия случайной величины $I(n)$ на основании (40) равна:

$$D(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i)-\sum_{i=1}^{n}(p_i)^2=k/\varphi(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln(ki+l)}-k^2/\varphi^2(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln^2(ki+l)}$$ \approx 1/\varphi(k) \int_{k+l}^{x}\frac {du}{\ln(u)}-k/\varphi^2(k) \int_{k+l}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}.(69)$$

Знак приблизительно в формуле (69) надо рассматривать в смысле, что при больших значениях $x$, как я показывал ранее, разница между суммой и интегралом пренебрежимо мала.

Величина интеграла в выражении (69) ограничена $\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln^2(u)}<(k+l-2)/\ln^2(2)$ и при больших значениях $x$ для дисперсии случайной величины $I(n)$ справедлива следующая формула :
$D(I(n)) \approx 1/\varphi(k) \int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln(u)}-k/\varphi^2(k) \int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln^2(u)}$. (70)

Справедливо следующее соотношение дисперсий для вероятностных моделей 3 и 4:
$D(I(n)) <D_3(I(x,k))<Li(x)/\varphi(k)$, (71) где $D_3(I(x,k))$ определяется по формуле (60).

Если сравнивать порядки квадрата функции (52) и $D(I(n))$, то функция (52) является величиной меньшего порядка.
Поэтому на основании оценок Литлвуда (стр. 16 Прахар "Распределение простых чисел") вероятностные модели 3 и 4 правомочны.

Продолжение следует.