Вторичное квантование. Общие вопросы.

[tverdotel]

Кстати, напомните, пожалуйста, почему плотность частиц вводится следующим образом (см. АГД):

$$n(\mathbf{r}) = \sum_\alpha \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_\alpha)?$$

Хотя это выражение мне знакомо, понял, что я не очень понимаю его смысла и воспринимал раньше как нечто само собой разумеещееся (например уравнение Максвелла $\mathrm{div}\mathbf{E} = - 4\pi e \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$). Мне всегда казалось, что функция плотности числа частиц - это какая-то хорошая функция, вполне себе плавная. Наверное, это связано с тем, что частицы считаются точечными, поэтому и плотность самих частиц бесконечная, отсюда и берётся дельта функция. Или я не прав?

[Munin]

Да, дельта-функция означает точечные частицы.

Плавная хорошая функция возникает, если усреднять эту "расчёску" (или называть её "ложем факира" в многомерном случае?) по достаточно большим областям, $\gg$ среднего расстояния между частицами. Усреднение - это, например, свёртка со сглаживающей функцией типа гауссового "колокольчика".

[tverdotel]

Munin
ага, всё понял. Большое спасибо.

[tverdotel]

Я буду вопросы с теорией функций Грина сюда тоже скидывать. Со вторичным квантованием вроде все основные моменты разобрал.
Так вот, объясните мне тупому как в ЛЛ IX написали, что

$$G(t,\mathbf{r})=\frac12 G_{\alpha\alpha}= -\frac{i}{2}\sum_m\langle 0|\Psi_\alpha|m\rangle\langle m|\Psi^+_\alpha|0\rangle ?$$

Быть может я бесконечно туплю, но не понимаю ни первого знака равно, ни второго. Эта формула между формулой $(8.4)$ и $(8.5)$

[amon]

Первое равенство - формула (7.12), второе - (7.10), и вставили разложение единицы.

[tverdotel]

amon в сообщении #914957 писал(а):

Первое равенство - формула (7.12), второе - (7.10), и вставили разложение единицы.

С разложением единицы ясно. С первым бы пунктом я хотел бы поподробнее. Как и говорит ЛЛ, я разбил интеграл на два (пишу с мобильника, т.к. другой возможности нет, поэтому возможны ошибки в наборе формул, полужирное начертание у векторов опускаю):

$$G ( \omega, k) = \int d^3 r e^{-ikr}\left[ \int_{-\infty}^0 dt G (t, r) e^{i\omega t} + \int_{0}^\infty dt G (t, r) e^{i\omega t} \right].$$

Далее, он говорит, что сделав во втором интеграле, раскрывая (7.10) по правилу умножения матриц получает то, что получает. Как это очевидно из того, что мы разбили интеграл я не понимаю. Я сделал по определению (для системы не изменяющей спин). А именно:

$$G_{\alpha, \beta} (1,2) = - i\delta_{\alpha, \beta}\sum_m \langle 0| \Psi_\alpha (1)|m\rangle\langle m|\Psi^+_\beta (2)|0\rangle.$$

Видимо, заблудился в трёх соснах, т.к. не получил ни первого, ни второго его знака равно. Что я делаю не так?

[Cos(x-pi/2)]

Видимо, забываете, что когда написаны два одинаковых индекса, то подразумевается суммирование по ним. Три сосны таковы:

1. Символ Кронекера (дельта) с двумя одинаковыми индексами (альфа и альфа) означает сумму единиц. Спиновые индексы пробегают только два значения; следовательно, речь идёт о сумме двух единиц, т.е. получается число 2.

2. Теперь берём формулу (7.11) и заменяем в ней бета на альфа. Слева будет ф-я Грина с совпадающими индексами (стало быть, просуммированная), а справа будет ф-я Грина без индексов, умноженная на 2. Отсюда следует искомое вами "первое равенство".

3. Аналогично заменив бета на альфа в вашей последней формуле (но без символа Кроненера, т.к. согласно определению (7.10) его там не должно быть), и учтя "первое", получите "второе" равенство.

[tverdotel]

Спасибо! В конце концов с этим разложением Челлена-Лемана я разобрался. При $T=0$ вопросов вроде как пока нет. Также провёл его и для $G^R$, $G^A$ и $G$ для конечных $T$ (это параграф 36). С Ландау всё совпало, всё замечательно. Единственное, что я не смог в полной мере получить соотношение $(36.14)$ (издание от 1978г или 2004г). Выделив $\operatorname{Im} G_{\omega,\mathbf{k}}$ и умножив на $i\cth\frac{\omega}{2T}$ получил выражение типа (привожу только ту часть, которая не совпала):

$$\ldots \sum_{mn}A_{mn} w_n\delta (\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta (\omega - \omega_{mn})\left( 1 + e^{-\beta\omega} \right),$$

где $\beta = 1/T$. Несовпал показатель экспоненты. Там должно стоять $\omega_{mn}$. Правильно ли я понимаю, что в показателе можно положить $\omega = \omega_{mn}$ в силу того, что рядом стоящая дельта функция зависит от разности $\omega - \omega_{mn}$? Насколько я понимаю $\delta (\omega - \omega_{mn})$ есть выражение закона сохранения энергии. Собственно поэтому и $\left( 1 + e^{-\beta\omega} \right) = \left( 1 + e^{-\beta\omega_{mn}} \right)$. Или как тут надо-то правильно?

[espe]

tverdotel в сообщении #918830 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в показателе можно положить $\omega = \omega_{mn}$ в силу того, что рядом стоящая дельта функция зависит от разности $\omega - \omega_{mn}$?

Да. Я не математик и за математическую строгость не ручаюсь, но в физике всегда так делают. Для любой функции $F(x,x',\ldots)$ имеем

$$F(x,x',\ldots)\delta(x-x')=F(x,x,\ldots)\delta(x-x')=F(x',x',\ldots)\delta(x-x')$$

[tverdotel]

Ага, спасибо. Для себя я это обосновываю, на домохозяйском языке, что дельта-функция отлична от нуля только при $\omega = \omega_{mn}$. Поэтому, в экспоненте существенна толька эта частота. Не знаю верно ли это рассуждение вообще, ведь по сути это - фильтрующее свойство дельта-функции. А оно работает только с интегрированием.

[Cos(x-pi/2)]

Применительно к данному случаю это неправильное объяснение. В той формуле, про которую спрашивает tverdotel, множитель $(1+e^{-\beta \omega_{mn}})$ появляется вовсе не из-за дельта-функции. Он появляется ещё до фурье-преобразования по времени, когда переменной $\omega$ без индексов ещё нет.

tverdotel
Вы где-то ошиблись в своём выводе. Старайтесь внимательно и явно проделывать все пропущенные выкладки, руками на бумаге, а не в уме, поскольку ещё нет опыта предвидеть результат.

В данном случае структура выкладок такова, как поясняется примерно через абзац ниже ф-лы (36.4) (по изданию 1978 г.). Ещё до перехода в $\omega , \mathsf {p}$-представление имеем равенство вида (где через $B$ и $C$ с индексами я обозначил имеющиеся там длинные выражения):

$$iG^R (t, \mathsf {r})=\sum_n \sum_m w_n \{ B_{mn}+C_{mn} \}=$$

В двойной сумме с $C_{mn}$ взаимно пререобозначаем индексы $m$ и $n$, так что равенство продолжается следующим образом:

$$=\sum_n \sum_m \{w_n B_{mn}+w_mC_{nm} \}=$$

Теперь, внимательно посмотрев на знаки и расстановку индексов в показателях экспонент, а также переписав матричные элементы операторов по формуле $\langle m | {\hat \psi^+} |n \rangle = \langle n| \hat \psi |m \rangle^* $, замечаем, что $C_{nm}=B_{mn}$. Поэтому равенство продолжается так:

$$=\sum_n \sum_m w_n B_{mn} \{ 1+\frac{w_m}{w_n} \}=$$

А поскольку $w_m = e^{\beta ( \Omega - E'_m ) }$ и $\omega_{mn}=E'_m-E'_n$, то окончательно имеем как раз то, что надо:

$$=\sum_n \sum_m w_n B_{mn} (1+e^{-\beta \omega_{mn}})$$

(У нас здесь, $B_{mn}=(1/2)e^{-i(\omega_{mn}t-\mathsf {k}_{mn} \mathsf {r})}A_{mn}$, как и должно быть.) Вот и всё. Получившийся множитель $(1+e^{-\beta \omega_{mn}})$ таким дальше и останется, он уже не изменится при фурье-разложении.

[tverdotel]

Кажется, espe понял мой вопрос. Cos(x-pi/2), давайте я объясню подробнее в чём была загвоздка. Вопрос возник в формуле $(36.14)$:

$$G^R_{\omega,\mathbf{k}} = \operatorname{Re}G_{\omega,\mathbf{k}} + i\cth\frac{\omega}{2T}\operatorname{Im}G_{\omega,\mathbf{k}}.$$

Для определённости взял выражение для $G^R.$ Причём разложение $G_{\omega,\mathbf{k}}$ (ф-ла $(36.13)$) у меня полностью совпала с ЛЛ. Я начал расписывать это тождество (левую и правую части соответственно). Получил:

$$\frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\frac{\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})}{\omega-\omega_{mn}}\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}} \right) - i\ \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn})\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}} \right)\equiv$$ $$ \equiv\frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\frac{\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})}{\omega-\omega_{mn}}\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}} \right) - i\ \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn})\left(1 + e^{-\beta\omega} \right).$$

Как видите, тождество почти верное. Различие только в том, в самой последней скобке в правой части. И мой вопрос в том, что я положил у скобки $\left(1 + e^{-\beta\omega} \right)$ в показателе $\omega = \omega_{mn}$, ссылаясь на дельта функцию, зависящую от разности частот $\delta(\omega-\omega_{mn})$. Вопрос был в законности этого. Т.е. я внёс эту скобку $\left(1 + e^{-\beta\omega} \right)$, которая взялась от $\cth\frac{\omega}{2T}$, под знак суммы, положив $\omega = \omega_{mn}$.

[amon]

2tverdotel
О равенствах "с $\delta$-функцмями". Всякие разные $\delta,\theta$ и прочие $\frac{1}{x+i0}$ функции - это обобщенные функции. Предполагается (а на самом деле они так определяются), что они всегда стоят под интегралом рядом с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией. В Вашем случае $f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)\delta(x-x_0)$, поскольку $\int \varphi(x) f(x)\delta(x-x_0)dx=\int \varphi(x) f(x_0)\delta(x-x_0)dx=\varphi(x_0) f(x_0)$ для любой $\varphi(x)$. Таким способом проверяются (или доказываются) все выражения с обобщенными функциями.

(Оффтоп)

Сейчас придут математики и опять закидают тапками

[Cos(x-pi/2)]

tverdotel
Теперь я тоже понял ваш вопрос; извините, подумал, что заминка была вообще в самом начале.

Но тогда не понимаю, почему вы не видите, что уже всё в порядке - раз вы внесли котангенс под знак суммы и заменили в котангенсе частоту $\omega$ на $\omega_{mn}$ (и это правильно благодаря наличию дельта-функции, как справедливо заметили вы сами и espe), то сразу получается нужное выражение, с нужной вам скобкой.

Cделаем всё подробно. Итак, во-первых, левая сторона проверяемого вами тождества (т.е. выражение для $G^R_{\omega,\mathbf{k}}$) написана верно. Во-вторых, действительная часть левой и правой стороны написаны тоже верно, и уже видно, что они равны друг другу. Осталось проверить, что и мнимые части равны друг другу. Замечаем, что:

$$\cth\frac{\omega}{2T}=\frac{e^{\beta \omega/2}+e^{-\beta \omega/2}}{e^{\beta \omega/2}-e^{-\beta \omega/2}}=\frac{1+e^{-\beta \omega}}{1-e^{-\beta \omega}}$$

Умножив на эту дробь выражение под знаком суммы для $\operatorname{Im}G_{\omega,\mathbf{k}}$, получаем:

$$\cth \frac{\omega}{2T} \operatorname{Im} G_{\omega , \mathbf {k}} = - \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn}) (1 - e^{-\beta\omega_{mn}}) \frac{1+e^{-\beta \omega}}{1-e^{-\beta \omega}}=$$

После замены в этой дроби $\omega$ на $\omega_{mn}$ её знаменатель сокращается с уже имевшейся скобкой, а числитель даёт нужный ответ:

$$=- \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn}) (1 + e^{-\beta\omega_{mn}})$$

что и требовалось получить.


amon
В формулах, с которыми сейчас разбирался tverdotel, погоду делает такая (и тапками физиков не запугать ):

$$\frac{1}{x+i0}=\frac{1}{x}-i\pi \delta(x)$$

где интеграл с $1/x$ будет пониматься в смысле главного значения.

[Munin]

(Оффтоп)

amon в сообщении #919396 писал(а):

Предполагается (а на самом деле они так определяются), что они всегда стоят под интегралом рядом с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией.

"Познакомлюсь с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией..."