2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение29.09.2014, 21:38 


24/02/13
22
Кстати, напомните, пожалуйста, почему плотность частиц вводится следующим образом (см. АГД):
$$n(\mathbf{r}) = \sum_\alpha \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_\alpha)?$$
Хотя это выражение мне знакомо, понял, что я не очень понимаю его смысла и воспринимал раньше как нечто само собой разумеещееся (например уравнение Максвелла $\mathrm{div}\mathbf{E} = - 4\pi e \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$). Мне всегда казалось, что функция плотности числа частиц - это какая-то хорошая функция, вполне себе плавная. Наверное, это связано с тем, что частицы считаются точечными, поэтому и плотность самих частиц бесконечная, отсюда и берётся дельта функция. Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение29.09.2014, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, дельта-функция означает точечные частицы.

Плавная хорошая функция возникает, если усреднять эту "расчёску" (или называть её "ложем факира" в многомерном случае?) по достаточно большим областям, $\gg$ среднего расстояния между частицами. Усреднение - это, например, свёртка со сглаживающей функцией типа гауссового "колокольчика".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение29.09.2014, 22:02 


24/02/13
22
Munin
ага, всё понял. Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение03.10.2014, 21:33 


24/02/13
22
Я буду вопросы с теорией функций Грина сюда тоже скидывать. Со вторичным квантованием вроде все основные моменты разобрал.
Так вот, объясните мне тупому как в ЛЛ IX написали, что
$$G(t,\mathbf{r})=\frac12 G_{\alpha\alpha}= -\frac{i}{2}\sum_m\langle 0|\Psi_\alpha|m\rangle\langle m|\Psi^+_\alpha|0\rangle ?$$
Быть может я бесконечно туплю, но не понимаю ни первого знака равно, ни второго. Эта формула между формулой $(8.4)$ и $(8.5)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение03.10.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Первое равенство - формула (7.12), второе - (7.10), и вставили разложение единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение04.10.2014, 18:48 


24/02/13
22
amon в сообщении #914957 писал(а):
Первое равенство - формула (7.12), второе - (7.10), и вставили разложение единицы.
С разложением единицы ясно. С первым бы пунктом я хотел бы поподробнее. Как и говорит ЛЛ, я разбил интеграл на два (пишу с мобильника, т.к. другой возможности нет, поэтому возможны ошибки в наборе формул, полужирное начертание у векторов опускаю):
$$G ( \omega, k) = \int d^3 r e^{-ikr}\left[  \int_{-\infty}^0 dt G (t, r)  e^{i\omega t} + \int_{0}^\infty dt G (t, r)  e^{i\omega t} \right].$$
Далее, он говорит, что сделав во втором интеграле, раскрывая (7.10) по правилу умножения матриц получает то, что получает. Как это очевидно из того, что мы разбили интеграл я не понимаю. Я сделал по определению (для системы не изменяющей спин). А именно:
$$G_{\alpha, \beta} (1,2) = - i\delta_{\alpha, \beta}\sum_m \langle 0| \Psi_\alpha (1)|m\rangle\langle m|\Psi^+_\beta (2)|0\rangle.$$
Видимо, заблудился в трёх соснах, т.к. не получил ни первого, ни второго его знака равно. Что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение04.10.2014, 19:54 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
Видимо, забываете, что когда написаны два одинаковых индекса, то подразумевается суммирование по ним. Три сосны таковы:

1. Символ Кронекера (дельта) с двумя одинаковыми индексами (альфа и альфа) означает сумму единиц. Спиновые индексы пробегают только два значения; следовательно, речь идёт о сумме двух единиц, т.е. получается число 2.

2. Теперь берём формулу (7.11) и заменяем в ней бета на альфа. Слева будет ф-я Грина с совпадающими индексами (стало быть, просуммированная), а справа будет ф-я Грина без индексов, умноженная на 2. Отсюда следует искомое вами "первое равенство".

3. Аналогично заменив бета на альфа в вашей последней формуле (но без символа Кроненера, т.к. согласно определению (7.10) его там не должно быть), и учтя "первое", получите "второе" равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение14.10.2014, 12:18 


24/02/13
22
Спасибо! В конце концов с этим разложением Челлена-Лемана я разобрался. При $T=0$ вопросов вроде как пока нет. Также провёл его и для $G^R$, $G^A$ и $G$ для конечных $T$ (это параграф 36). С Ландау всё совпало, всё замечательно. Единственное, что я не смог в полной мере получить соотношение $(36.14)$ (издание от 1978г или 2004г). Выделив $\operatorname{Im} G_{\omega,\mathbf{k}}$ и умножив на $i\cth\frac{\omega}{2T}$ получил выражение типа (привожу только ту часть, которая не совпала):
$$\ldots \sum_{mn}A_{mn} w_n\delta (\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta (\omega - \omega_{mn})\left(  1 + e^{-\beta\omega}  \right),$$
где $\beta = 1/T$. Несовпал показатель экспоненты. Там должно стоять $\omega_{mn}$. Правильно ли я понимаю, что в показателе можно положить $\omega = \omega_{mn}$ в силу того, что рядом стоящая дельта функция зависит от разности $\omega - \omega_{mn}$? Насколько я понимаю $\delta (\omega - \omega_{mn})$ есть выражение закона сохранения энергии. Собственно поэтому и $\left(  1 + e^{-\beta\omega}  \right) = \left(  1 + e^{-\beta\omega_{mn}}  \right)$. Или как тут надо-то правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение15.10.2014, 05:59 
Заслуженный участник


25/01/11
416
Урюпинск
tverdotel в сообщении #918830 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что в показателе можно положить $\omega = \omega_{mn}$ в силу того, что рядом стоящая дельта функция зависит от разности $\omega - \omega_{mn}$?
Да. Я не математик и за математическую строгость не ручаюсь, но в физике всегда так делают. Для любой функции $F(x,x',\ldots)$ имеем $$F(x,x',\ldots)\delta(x-x')=F(x,x,\ldots)\delta(x-x')=F(x',x',\ldots)\delta(x-x')$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение15.10.2014, 13:40 


24/02/13
22
Ага, спасибо. Для себя я это обосновываю, на домохозяйском языке, что дельта-функция отлична от нуля только при $\omega = \omega_{mn}$. Поэтому, в экспоненте существенна толька эта частота. Не знаю верно ли это рассуждение вообще, ведь по сути это - фильтрующее свойство дельта-функции. А оно работает только с интегрированием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение15.10.2014, 15:07 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
Применительно к данному случаю это неправильное объяснение. В той формуле, про которую спрашивает tverdotel, множитель $(1+e^{-\beta \omega_{mn}})$ появляется вовсе не из-за дельта-функции. Он появляется ещё до фурье-преобразования по времени, когда переменной $\omega$ без индексов ещё нет.

tverdotel
Вы где-то ошиблись в своём выводе. Старайтесь внимательно и явно проделывать все пропущенные выкладки, руками на бумаге, а не в уме, поскольку ещё нет опыта предвидеть результат.

В данном случае структура выкладок такова, как поясняется примерно через абзац ниже ф-лы (36.4) (по изданию 1978 г.). Ещё до перехода в $\omega , \mathsf {p}$-представление имеем равенство вида (где через $B$ и $C$ с индексами я обозначил имеющиеся там длинные выражения):

$$iG^R (t, \mathsf {r})=\sum_n \sum_m w_n \{ B_{mn}+C_{mn} \}=$$

В двойной сумме с $C_{mn}$ взаимно пререобозначаем индексы $m$ и $n$, так что равенство продолжается следующим образом:

$$=\sum_n \sum_m \{w_n B_{mn}+w_mC_{nm} \}=$$

Теперь, внимательно посмотрев на знаки и расстановку индексов в показателях экспонент, а также переписав матричные элементы операторов по формуле $\langle m | {\hat \psi^+} |n \rangle = \langle n| \hat  \psi |m \rangle^* $, замечаем, что $C_{nm}=B_{mn}$. Поэтому равенство продолжается так:

$$=\sum_n \sum_m w_n B_{mn} \{ 1+\frac{w_m}{w_n} \}=$$

А поскольку $w_m = e^{\beta ( \Omega - E'_m ) }$ и $\omega_{mn}=E'_m-E'_n$, то окончательно имеем как раз то, что надо:

$$=\sum_n \sum_m w_n B_{mn} (1+e^{-\beta \omega_{mn}})$$

(У нас здесь, $B_{mn}=(1/2)e^{-i(\omega_{mn}t-\mathsf {k}_{mn} \mathsf {r})}A_{mn}$, как и должно быть.) Вот и всё. Получившийся множитель $(1+e^{-\beta \omega_{mn}})$ таким дальше и останется, он уже не изменится при фурье-разложении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение15.10.2014, 22:24 


24/02/13
22
Кажется, espe понял мой вопрос. Cos(x-pi/2), давайте я объясню подробнее в чём была загвоздка. Вопрос возник в формуле $(36.14)$:
$$G^R_{\omega,\mathbf{k}} = \operatorname{Re}G_{\omega,\mathbf{k}} + i\cth\frac{\omega}{2T}\operatorname{Im}G_{\omega,\mathbf{k}}.$$
Для определённости взял выражение для $G^R.$ Причём разложение $G_{\omega,\mathbf{k}}$ (ф-ла $(36.13)$) у меня полностью совпала с ЛЛ. Я начал расписывать это тождество (левую и правую части соответственно). Получил:
$$\frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\frac{\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})}{\omega-\omega_{mn}}\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}}  \right) - i\ \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn})\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}}  \right)\equiv$$
$$ \equiv\frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\frac{\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})}{\omega-\omega_{mn}}\left(1 + e^{-\beta\omega_{mn}}  \right) - i\ \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn})\left(1 + e^{-\beta\omega}  \right).$$
Как видите, тождество почти верное. Различие только в том, в самой последней скобке в правой части. И мой вопрос в том, что я положил у скобки $\left(1 + e^{-\beta\omega}  \right)$ в показателе $\omega = \omega_{mn}$, ссылаясь на дельта функцию, зависящую от разности частот $\delta(\omega-\omega_{mn})$. Вопрос был в законности этого. Т.е. я внёс эту скобку $\left(1 + e^{-\beta\omega}  \right)$, которая взялась от $\cth\frac{\omega}{2T}$, под знак суммы, положив $\omega = \omega_{mn}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение16.10.2014, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
2tverdotel
О равенствах "с $\delta$-функцмями". Всякие разные $\delta,\theta$ и прочие $\frac{1}{x+i0}$ функции - это обобщенные функции. Предполагается (а на самом деле они так определяются), что они всегда стоят под интегралом рядом с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией. В Вашем случае $f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)\delta(x-x_0)$, поскольку $\int \varphi(x) f(x)\delta(x-x_0)dx=\int \varphi(x)  f(x_0)\delta(x-x_0)dx=\varphi(x_0) f(x_0)$ для любой $\varphi(x)$. Таким способом проверяются (или доказываются) все выражения с обобщенными функциями.

(Оффтоп)

Сейчас придут математики и опять закидают тапками :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение16.10.2014, 01:05 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
tverdotel
Теперь я тоже понял ваш вопрос; извините, подумал, что заминка была вообще в самом начале.

Но тогда не понимаю, почему вы не видите, что уже всё в порядке - раз вы внесли котангенс под знак суммы и заменили в котангенсе частоту $\omega$ на $\omega_{mn}$ (и это правильно благодаря наличию дельта-функции, как справедливо заметили вы сами и espe), то сразу получается нужное выражение, с нужной вам скобкой.

Cделаем всё подробно. Итак, во-первых, левая сторона проверяемого вами тождества (т.е. выражение для $G^R_{\omega,\mathbf{k}}$) написана верно. Во-вторых, действительная часть левой и правой стороны написаны тоже верно, и уже видно, что они равны друг другу. Осталось проверить, что и мнимые части равны друг другу. Замечаем, что:
$$\cth\frac{\omega}{2T}=\frac{e^{\beta \omega/2}+e^{-\beta \omega/2}}{e^{\beta \omega/2}-e^{-\beta \omega/2}}=\frac{1+e^{-\beta \omega}}{1-e^{-\beta \omega}}$$
Умножив на эту дробь выражение под знаком суммы для $\operatorname{Im}G_{\omega,\mathbf{k}}$, получаем:
$$\cth \frac{\omega}{2T} \operatorname{Im} G_{\omega , \mathbf {k}} = - \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn}) (1 - e^{-\beta\omega_{mn}}) \frac{1+e^{-\beta \omega}}{1-e^{-\beta \omega}}=$$
После замены в этой дроби $\omega$ на $\omega_{mn}$ её знаменатель сокращается с уже имевшейся скобкой, а числитель даёт нужный ответ:
$$=- \frac{(2\pi)^3}{2}\sum_{mn}A_{mn}w_n\pi\delta(\mathbf{k} - \mathbf{k}_{mn})\delta(\omega-\omega_{mn}) (1 + e^{-\beta\omega_{mn}})$$
что и требовалось получить.


amon
В формулах, с которыми сейчас разбирался tverdotel, погоду делает такая (и тапками физиков не запугать :D ):
$$\frac{1}{x+i0}=\frac{1}{x}-i\pi \delta(x)$$
где интеграл с $1/x$ будет пониматься в смысле главного значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение16.10.2014, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

amon в сообщении #919396 писал(а):
Предполагается (а на самом деле они так определяются), что они всегда стоят под интегралом рядом с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией.

    "Познакомлюсь с какой-нибудь хорошенькой финитной бесконечно дифференцируемой функцией..."

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group