2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
redicka в сообщении #912957 писал(а):
Во-первых, это не эскиз, а график и касательная построенная по найденным точкам.
И рисовал не я, а матпакет :-)



(Оффтоп)

А ещё я умею находить через матпакеты $a = 1 - \sqrt{3}, b = 1 + \sqrt{3}$. Но это никого не устраивает.


-- 28.09.2014, 00:28 --

Утундрий в сообщении #912953 писал(а):
Перейдите к переменным $a+b$ и $ab$, может полегчает?


Проблема с представлением числа $a^3 - 3a^2$ через $ab$ и $a + b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
StaticZero в сообщении #912961 писал(а):
Проблема с представлением числа $a^3 - 3a^2$ через $ab$ и $a + b$.

А там рядом ещё другие члены имеются. Не пренебрегайте ими. Здесь лучше делать всё симметричненько. Или вот, например, $t \equiv {b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} a}$ - тоже подстановочка неплохая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Да и вообще, пусть $u = a + b, v = ab$. Ещё знаем, что

$$\begin{cases}
(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 - 12(a + b)) = 4(a - b)(b^3 - 3b^2), \\
a^2 + ab + b^2 = 3(a + b)
\end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases}
(a + b)^3 - 2ab(a + b) - 12(a + b) = 4(b^3 - 3b^2), \\
(a + b)^2 - ab = 3(a + b)
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
u^3 - 2uv - 12u = 4(b^3 - 3b^2), \\
u^2 - v = 3u
\end{cases}$$

-- 28.09.2014, 00:40 --

Может быть, исходная система может быть написана проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
$$f'\left( a \right) = f'\left( b \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$$
$$f\left( x \right) = x^4  - 4x^3 ,\quad f'\left( x \right) = 4\left( {x^3  - 3x^2 } \right)$$
$$a^3  - 3a^2  = b^3  - 3b^2  = \frac{1}{4}\frac{{b^4  - 4b^3  - a^4  + 4a^3 }}{{b - a}}$$
$$b^3  - a^3  = 3\left( {b^2  - a^2 } \right), \quad a^3  - 3a^2  = b^3  - 3b^2  = \frac{1}{4}\frac{{b^4  - a^4 }}{{b - a}} - \frac{{b^3  - a^3 }}{{b - a}}$$
$$\ldots$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Ну это то же самое, что и выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение27.09.2014, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
StaticZero в сообщении #912973 писал(а):
Ну это то же самое, что и выше.

Да, математика вся такая - преобразуешь, сокращаешь, а в итоге - ровно то же самое с чего и начинал. Эквивалентные преобразования по-научному. Ну просто руки опускаются!

-- Вс сен 28, 2014 01:09:59 --

Подсказка:
Утундрий в сообщении #912950 писал(а):
Задачку составлял фанат раскрытия выражения $\frac{{b^n  - a^n }}{{b - a}}$ :D

Я это не просто так сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение28.09.2014, 09:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  redicka, замечание за кривое оформление цитаты

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение28.09.2014, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Утундрий в сообщении #912976 писал(а):
Я это не просто так сказал.


Извините, я всё равно не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение28.09.2014, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Да раскройте же его!

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение29.09.2014, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
$\dfrac{a^4 - b^4}{a - b} = a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3$

$\dfrac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + ab + b^2$

$\dfrac{1}{4} \dfrac{a^4 - b^4}{a - b} - \dfrac{a^3 - b^3}{a - b} = \dfrac{a^3 + b^3}{4} + \dfrac{ab(a + b - 4)}{4} - (a^2 + b^2) = a^3 - 3a^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение29.09.2014, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Всмотритесь в эти выражения внимательней и вы увидите, что они составлены только из $a+b$ и $ab$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение29.09.2014, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Решение найдено мной более простое.

Точки касания находятся на участках кривой, где выпуклость одинаковая, но при этом между этими участками располагается участок, где выпуклость меняется. Имеем
$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$
$$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) = 0, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 2$$
Имеем ограничения на точки касания $a, b$:
$a < 0, 2 < b < 3$

Пусть искомая прямая $y = cx + d$, где
$d = f(a) - af'(a) = f(b) - bf'(b)$
$c = f'(a) = f'(b)$

Имеем систему
$$\begin{cases}
3(a^4 - b^4) = 8(a^3 - b^3), \\
3(a+b) = a^2 + ab + b^2
\end{cases}$$

Преобразуется легко к виду
$$\begin{cases}
a^2 + b^2 + ab = 3(a+b), \\
a^2 + b^2 = 8
\end{cases}$$

которая решается аналитически и получаются нужные корни.

Спасибо за помощь, тема исчерпала себя. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение29.09.2014, 18:59 


26/08/11
2057
Когда решите, попробуйте и такой способ: При каких значениях $a,b$ уравнение $x^4-4x^3=ax+b$ имеет четыре дейтвительных, попарно равных корня по формулам Виета.

-- 29.09.2014, 19:13 --

Не попарно равных, конечно (не все лошади одной масти), а $x_1=x_3,x_2=x_4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение29.09.2014, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Имеем $$(x - a)^2 (x - b)^2 = x^4 - 4x^3 - cx - d$$
$$(x^2 - 2ax + a^2)(x^2 - 2bx + b^2) = x^4 - x^3(2a + 2b) + x^2(a^2 + b^2 + 4ab) - (2a^2b + 2ab^2)x + a^2b^2$$

$$\begin{cases}
a + b = 2, \\
a^2 + 4ab + b^2 = (a+b)^2 + 2ab = 0
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
ab = -2, \\
a + b = 2
\end{cases}$$

$a = 1 - \sqrt{3}, \quad b = 1 + \sqrt{3}$. Остаётся доказать, что это - точки касания, а не просто пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан - производная
Сообщение30.09.2014, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Из двух уравнений
$$\begin{cases}
2a^2b + 2ab^2 = c, \\
a^2 b^2 = -d
\end{cases}$$

найдём коэффициенты $c$ и $d$. Должно выполняться равенства

$c = f'(a) = -8$
$d = f(a) - af'(a) = -4$

Имеем

$2ab(a + b) = 2 \cdot (-2) \cdot 2 = -8$
$a^2 b^2 = 4$

Условия выполнены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group