Матан - производная

[StaticZero]

redicka в сообщении #912957 писал(а):

Во-первых, это не эскиз, а график и касательная построенная по найденным точкам.
И рисовал не я, а матпакет

(Оффтоп)

А ещё я умею находить через матпакеты $a = 1 - \sqrt{3}, b = 1 + \sqrt{3}$. Но это никого не устраивает.

-- 28.09.2014, 00:28 --

Утундрий в сообщении #912953 писал(а):

Перейдите к переменным $a+b$ и $ab$, может полегчает?

Проблема с представлением числа $a^3 - 3a^2$ через $ab$ и $a + b$.

[Утундрий]

StaticZero в сообщении #912961 писал(а):

Проблема с представлением числа $a^3 - 3a^2$ через $ab$ и $a + b$.

А там рядом ещё другие члены имеются. Не пренебрегайте ими. Здесь лучше делать всё симметричненько. Или вот, например, $t \equiv {b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} a}$ - тоже подстановочка неплохая.

[StaticZero]

Да и вообще, пусть $u = a + b, v = ab$. Ещё знаем, что

$$\begin{cases} (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 - 12(a + b)) = 4(a - b)(b^3 - 3b^2), \\ a^2 + ab + b^2 = 3(a + b) \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} (a + b)^3 - 2ab(a + b) - 12(a + b) = 4(b^3 - 3b^2), \\ (a + b)^2 - ab = 3(a + b) \end{cases}$$

$$\begin{cases} u^3 - 2uv - 12u = 4(b^3 - 3b^2), \\ u^2 - v = 3u \end{cases}$$

-- 28.09.2014, 00:40 --

Может быть, исходная система может быть написана проще?

[Утундрий]

$$f'\left( a \right) = f'\left( b \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$$

$$f\left( x \right) = x^4 - 4x^3 ,\quad f'\left( x \right) = 4\left( {x^3 - 3x^2 } \right)$$

$$a^3 - 3a^2 = b^3 - 3b^2 = \frac{1}{4}\frac{{b^4 - 4b^3 - a^4 + 4a^3 }}{{b - a}}$$

$$b^3 - a^3 = 3\left( {b^2 - a^2 } \right), \quad a^3 - 3a^2 = b^3 - 3b^2 = \frac{1}{4}\frac{{b^4 - a^4 }}{{b - a}} - \frac{{b^3 - a^3 }}{{b - a}}$$

$$\ldots$$

[StaticZero]

Ну это то же самое, что и выше.

[Утундрий]

StaticZero в сообщении #912973 писал(а):

Ну это то же самое, что и выше.

Да, математика вся такая - преобразуешь, сокращаешь, а в итоге - ровно то же самое с чего и начинал. Эквивалентные преобразования по-научному. Ну просто руки опускаются!

-- Вс сен 28, 2014 01:09:59 --

Подсказка:

Утундрий в сообщении #912950 писал(а):

Задачку составлял фанат раскрытия выражения $\frac{{b^n - a^n }}{{b - a}}$

Я это не просто так сказал.

[Deggial]

redicka, замечание за кривое оформление цитаты

[StaticZero]

Утундрий в сообщении #912976 писал(а):

Я это не просто так сказал.

Извините, я всё равно не понял.

[Утундрий]

Да раскройте же его!

[StaticZero]

$\dfrac{a^4 - b^4}{a - b} = a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3$

$\dfrac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + ab + b^2$

$\dfrac{1}{4} \dfrac{a^4 - b^4}{a - b} - \dfrac{a^3 - b^3}{a - b} = \dfrac{a^3 + b^3}{4} + \dfrac{ab(a + b - 4)}{4} - (a^2 + b^2) = a^3 - 3a^2$

[Утундрий]

Всмотритесь в эти выражения внимательней и вы увидите, что они составлены только из $a+b$ и $ab$.

[StaticZero]

Решение найдено мной более простое.

Точки касания находятся на участках кривой, где выпуклость одинаковая, но при этом между этими участками располагается участок, где выпуклость меняется. Имеем

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$

$$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) = 0, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 2$$

Имеем ограничения на точки касания $a, b$:
$a < 0, 2 < b < 3$

Пусть искомая прямая $y = cx + d$, где
$d = f(a) - af'(a) = f(b) - bf'(b)$
$c = f'(a) = f'(b)$

Имеем систему

$$\begin{cases} 3(a^4 - b^4) = 8(a^3 - b^3), \\ 3(a+b) = a^2 + ab + b^2 \end{cases}$$

Преобразуется легко к виду

$$\begin{cases} a^2 + b^2 + ab = 3(a+b), \\ a^2 + b^2 = 8 \end{cases}$$

которая решается аналитически и получаются нужные корни.

Спасибо за помощь, тема исчерпала себя.

[Shadow]

Когда решите, попробуйте и такой способ: При каких значениях $a,b$ уравнение $x^4-4x^3=ax+b$ имеет четыре дейтвительных, попарно равных корня по формулам Виета.

-- 29.09.2014, 19:13 --

Не попарно равных, конечно (не все лошади одной масти), а $x_1=x_3,x_2=x_4$

[StaticZero]

Имеем

$$(x - a)^2 (x - b)^2 = x^4 - 4x^3 - cx - d$$

$$(x^2 - 2ax + a^2)(x^2 - 2bx + b^2) = x^4 - x^3(2a + 2b) + x^2(a^2 + b^2 + 4ab) - (2a^2b + 2ab^2)x + a^2b^2$$

$$\begin{cases} a + b = 2, \\ a^2 + 4ab + b^2 = (a+b)^2 + 2ab = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} ab = -2, \\ a + b = 2 \end{cases}$$

$a = 1 - \sqrt{3}, \quad b = 1 + \sqrt{3}$. Остаётся доказать, что это - точки касания, а не просто пересечения.

[StaticZero]

Из двух уравнений

$$\begin{cases} 2a^2b + 2ab^2 = c, \\ a^2 b^2 = -d \end{cases}$$

найдём коэффициенты $c$ и $d$. Должно выполняться равенства

$c = f'(a) = -8$
$d = f(a) - af'(a) = -4$

Имеем

$2ab(a + b) = 2 \cdot (-2) \cdot 2 = -8$
$a^2 b^2 = 4$

Условия выполнены.