объем срезанного конуса

[redicka]

Вот картинка.
У меня формула для объема конуса, лежащего ниже секущей плоскости.
Если ваша формула для верхней части, то получается слишком много.

[arseniiv]

А как вы считали?

Просто попробуйте вывести такую же. Конус $B^2(x^2 + y^2) = L^2z^2$, плоскость $(L+l)Lz = B(L-l)x + 2BLl$. Это в плоскости $y = 0$ даёт точки пересечения $(-l,0,Bl/L)$ и $(L,0,B)$, концы большой оси эллипса. Высота $h$ находится как расстояние от плоскости до $(0,0,0)$. Малая ось находится как точки прямой с направлением $(0,1,0)$ из центра большой оси, пересекающие конус. Дальше все параметры есть. Надеюсь, наши результаты сойдутся!

[redicka]

Попробую утром.А Вы попробуйте, все-таки, численно проверить свою формулу на конкретном примере.

[math_lover]

На случай, если кто на моем примере начнет свою формулу проверять, я "немного" ошибся: объём конуса $\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot {r^2}h\]$, и поэтому $\[\frac{1}{3}\pi \cdot {6^3}\]$, то есть

$\[{V_{\textit{Искомое}}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^3} - \int\limits_{ - \frac{9}{4}}^{\frac{9}{2}} {\int\limits_{ - \frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} }^{\frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} } {\int\limits_{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^{3 + \frac{1}{3}x} 1 } } dzdydx = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^3} - \frac{{243\pi }}{{16\sqrt 2 }} = ...\]$

И у меня вопрос: если полуоси эллипса уже даны, а заодно и высота основного конуса (сообщение #912897), нужна ли $h$ - расстояние плоскости сечения основного конуса до вершины конуса ?

[redicka]

Без $h$ не подсчитать отсеченную часть со стороны вершины конуса.
Наверное, $h$ можно выразить через полуоси эллипса.

[redicka]

arseniiv, ваша формула верна ( без четверки) .
У меня получилась другая формула (функция объема от $(B,L,l)$ ).
Обе формулы дают одни и те же значения объема.
Ваша формула по-короче.
Как Вы считали h?

[arseniiv]

Взял просто расстояние до плоскости от начала координат, т. к. вершина конуса в нём. Если плоскость задаётся уравнением $ax+by+cz = \vec n\vec r = d$, расстояние вычисляется как $|d|/|\vec n|$.

Хорошо, что результаты сошлись.

[redicka]

А я уравнение плоскости не вводил, оперировал только $B,L,l$.
Сейчас попробую по-другому, чтобы формула была по-короче.
У math_lover какой конус в ваших обозначениях? Что-то не могу сообразить.

[arseniiv]

Ээ… не понял вопрос.

[redicka]

Какие $B,L,l$ у конуса, объем которого хотел вычислить math_lover с помощью тройного интеграла?

[arseniiv]

Не считал. Лучше, думаю, у него спросить. Хочется надеяться, картинка с их описанием у меня вышла понятной.

[math_lover]

Обозначения как в сообщении #912897, т.к мне они понятны:
$\[a = \frac{9}{8}\sqrt {10} \]$
$\[b = \frac{9}{{2\sqrt 2 }}\]$
$\[R = 6\]$
$\[H = 6\]$
$\[h = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\]$
Эти данные получаются из моего первого сообщения #910037

redicka в сообщении #913147 писал(а):

Без $h$ не подсчитать отсеченную часть со стороны вершины конуса.
Наверное, $h$ можно выразить через полуоси эллипса.

Если $h$ можно через полуоси эллипса выразить, то $h$ уже лишнее, т.к $h$ доставляет излишнюю работу пользователю формулы
Пока еще не пробовал $h$ через $a$ и $b$ выразить.

[Батороев]

В подробностях обсуждения не разбирался, но насторожило применение понятия "эллипс". В сечении конуса - не эллипс, а фигура, что-то типа "яйца".

-- 29 сен 2014 16:48 --

Параллельно возник вопрос: правомерно ли в данном случае применение формулы Симпсона для вычисления объема многогранников с параллельными сечениями, имея в виду, что "яйцо" -это вырожденный многогранник, а вершина конуса - это "яйцо" нулевой площади, "параллельное" основанию?

-- 29 сен 2014 16:52 --

Имелось в виду использование формулы Симпсона для вычисления объема верхней (отрезанной) части конуса.

[Sender]

Батороев в сообщении #913549 писал(а):

В сечении конуса - не эллипс, а фигура, что-то типа "яйца".

И каков же порядок уравнения границы этой фигуры?

[Батороев]

Sender
Большую ось "яйца", равную $a$, пустим по оси $x$. Тогда координаты $y$ "яйца" будут выражены через $x$ в первой степени, но через функцию, связанную с углами $2\alpha$ (углом при вершине конуса) и $\beta$ (углом наклонного сечения к горизонтальному основанию конуса).

$\alpha = \arctg \dfrac{L-l}{h}$

$\beta = \arctg \dfrac{h}{L+l}$

Какова сама функция ответить затрудняюсь.

p.s. Чтобы изобразить графически это "яйцо" необходимо:
На главном виде (рис. на стр. 2 обсуждения) по высоте $h$ (расстояние между $2l$ и $2L$) рассечь конус $n$ параллельными горизонтальными сечениями. Используя в качестве радиусов отрезки от оси конуса до пересечения сечений с образующей конуса, провести под главным видом и соосно ему концентрические окружности (вид сверху). Точки пересечения сечений с прямой $a$ спроецировать на вид сверху, получая при пересечении с соответствующей концентрической окружностью две точки, принадлежащие "яйцу" и отстоящие от горизонтальной оси на $y_i$. Затем в сторонке на оси $x$ отложить отрезок $a$, поделить его на $n$ частей и отложить соответствующие $\pm y_i$.

-- 29 сен 2014 18:30 --

Про зависимость $y$ от $x$ в ПЕРВОЙ степени, я по-видимому, погорячился.