Периодическое во времени решение краевой задачи

[IgorS]

Большое спасибо за ответ. Вы совершенно правильно написали решение во времени, приведенное к периоду $2\pi$. Так и делается у меня в программе.

Что касается нечетных гармоник, то вначале я указал что функция $f$ - нечетная (это основная кривая намагничивания).

Мне непонятно, что за функция перед рядом в Вашей формуле.

Мне собственно нужно сослаться на какие-то теоремы, устанавливающие факт сходимости к решению (для публики). А скорость схдимости - это уже мои вычислительные заботы. Этот вопрос решен.

[sup]

1. Тот факт, что в решении содержатся только лишь нечетные гармоники по $t$, требуется еще доказать ... Иначе это просто "правдоподобные рассуждения". К счастью, это действительно не трудно. Пусть $u(x,t)$ - решение задачи. Считаем, что оно определено на всей временной оси (если надо - продолжим периодическим образом). Тогда, как легко проверить, $-u(x,t+\pi)$ - тоже решение этой же задачи. В силу теоремы единственности они совпадают, а значит уже для любых $x,t$ имеем равенство $u(x,t) = -u(x,t+\pi)$. А вот отсюда уже следует, что в решении не содержится четных гармоник по $t$.

2. Обычно математики "любят работать" с однородными условиями. Поэтому я выделил в решении две части. Одна часть - известная и принимает нужное краевое условие. Другая - неизвестная, на краях обращается в 0. Самая простая функция, которая принимает нужное краевое условие - это $\frac {x\varphi(t)}{L}$. (Я там в предыдущем посте потерял множитель $\frac {1}{L}$). Она простая, у нее оч. хорошие производные (с точки зрения вычислений. Константа, чего же лучше). А вот вторая часть - ряд по базисным функциям $Y_k(x)$, которые обращаются в 0 на краях, т.е при $x=0$ и $x=L$. Достоинство такого подхода - краевые условия уже автоматически выполняются. Как следствие - меньше уравнений. Конечно, Вы можете выписать разложение по произвольному базису. Тогда у Вас добавятся уравнения, соответствующие краевому условию $u(L,t) = \varphi (t)$. Но если это Вас "не пугает" - пожалуйста, действуйте как угодно.

3. Тот факт, что для этого уравнения метод Галеркина сходится, можно, наверное, считать "классикой". Профессиональные математики могут найти все что надо у Лионса. Да, у него доказывается существование периодического обобщенного решения для уравнения Навье-Стокса. Но ничего специфического в тех рассуждениях нет. Они легко переносятся на более общий случай. А наличие доп. оценок позволяет доказывать существование и гладких решений.

[IgorS]

sup
Спасибо за содержательный ответ. Но я полагаю, что все же мы отклонились от основного вопроса, на который от меня "требуют" ответа.

Я должен доказать (но не математикам, а электротехникам - я занимаюсь теоретической электротехникой), что 3 или пять гармоник точнее, чем одна (в частности поэтому я не ставил вопрос о существовании, единственности, и наличии только нечетных гармониках).

Термин "точнее" так же требует разъяснения. Точнее - это значит и амплитудное значение на периоде (это например определяет максимальное силовое взаимодействие, и интеграл (с квадратом) по периоду как локально таки и по всему интервалу $(0,L)$ , что определяет выделение тепла от дейсвия тока.

Заранее благодарен.

[sup]

Странный вопрос. Ищем приближенное решение, которое зависит от одного параметра. Будет ли решение точнее, если параметров выберем больше? Конечно будет точнее. Поскольку остальные можно просто проигнорировать (амплитуды "лишних" гармоник приравниваются к 0). Вопрос лишь в одном - насколько точнее. Ну так возьмите и сравните. Вот и ответ. Или я чего-то не понимаю? Возьмите 10 гармоник или 20. Получите решение. Оно для Вас будет служить "точным решением". Вот с ним и сравнивайте "приближенные" решения с одной или 3 гармониками.
Конкретно для вот этой задачи (на краю именно синус и именно с единичной амплитудой) может оказаться, что точность повышается "незначительно". Ну что же, может быть. Но в самой общей ситуации ясно, что чем больше гармоник, тем точнее решение. По-видимому, речь идет о том, что точность "простого" решения вполне достаточна для прикладных целей, а вычислительных ресурсов требуется существенно меньше. Здесь я не знаю что сказать. Наверное, только вычислительные эксперименты могут как-то ответить на возникающие вопросы.

[IgorS]

sup в сообщении #912576 писал(а):

Можно совершенно категорично утверждать, что приближенные решения сходятся к решению исходной задачи. Если надо, то можно попробовать оценить скорость сходимости (сразу так, навскидку, не скажу).

1 После этого мне показалось, что далее можно было бы сказать так: "Последовательность частичных сумм тригонометрического полинома сходится и сходится равномерно. Поэтому, чем больше гармоник, тем точнее ..."?

Цитата:

Будет ли решение точнее, если параметров выберем больше? Конечно будет точнее. Поскольку остальные можно просто проигнорировать (амплитуды "лишних" гармоник приравниваются к 0). Вопрос лишь в одном - насколько точнее. Ну так возьмите и сравните. Вот и ответ. Или я чего-то не понимаю?

2 Немного не так - "можно просто проигнорировать". В действительности так: решаем задачу с одной гармоникой (задаем ng=1, запускаем программу, она все аппроксимирует одной гармоникой, получаем решение, строим график), затем решаем задачу с пятью гармониками (задаем ng 5 ... и т.д.) . Надо как-то доказать, что это точнее.

Заранее благодарен (если не надоел).

[sup]

Хм. Дело обстоит примерно так. Вот у Вас есть график некой функции. Вы хотите его как-нибудь смоделировать. Простейший вариант - линейное приближение. Ну, как-то приблизили. А если попробовать приближать кубическими полиномами? Конечно же приближение будет как минимум не хуже, поскольку включает в себя и все возможные линейные приближения. Потом можно приближать полиномами 5 степени, 6-й ... Приближения будут все лучше и лучше, но это не какие-то ряды, а просто способ все более и более гибких приближений.
Так и метод Галеркина. По сути дела Вы ищете функцию $\tilde u(x,t)$ как линейную комбинацию базисных функций, подбирая коэффициенты "наилучшим" способом. Чем больше коэффициентов Вы предусмотрите, тем более гибкое будет приближение и тем более точное (в некотором смысле).
В абстрактном виде это выглядит так. Пусть мы решаем уравнение
$Lu =f$
Приближенное решение ищем в виде $\tilde u = \sum \limits_{k=1}^{n} a_kU_k$, где коэффициенты $a_k$ подбираются так, чтобы расстояние от $L\tilde u$ до $f$ было минимальным. В идеале надо бы, чтобы это расстояние равнялось 0 (это значит, что найдено точное решение). Но мы просто минимизируем "ошибку", коль скоро ее не удается обнулить. Для нахождения минимального расстояния от точки до линейного пространства используется "перпендикуляр" или ортогональная проекция. Так и получается метод Галеркина.

[IgorS]

sup в сообщении #913176 писал(а):

Конечно же приближение будет как минимум не хуже, поскольку включает в себя и все возможные линейные приближения.

sup
То есть в моем случае можно сказать то же самое и про тригонометрический полином?

[sup]

Вот Вы ищете решение в виде
$u_1(x,t)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1} a_{ik} N_i(x) \cos(kt) + b_{ik} N_i(x) \sin(kt)$
или в таком виде
$u_3(x,t)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1,3,5} a_{ik} N_i(x) \cos(kt) + b_{ik} N_i(x) \sin(kt) $
Ясно же, что возможности второй схемы шире, чем первой, поскольку $u_1$ всего лишь частный случай $u_3$.
Далее, что значит второй случай "лучше" или "хуже" чем первый. Понятие хуже/лучше требует уточнения. Вот мы нашли $u_1$ и $u_3$. Соответственно получим
$Lu_1 = f_1$
$Lu_3 = f_3$
(Хотелось бы, чтобы получился 0, но получится что-то ненулевое). Какое из приближений лучше? В методе Галеркина применяется следующий критерий: приближенное решение строится так, чтобы некая проекция $f$ равнялась 0. Какая проекция? Обычно проекция на линейное пространство, в котором выбирается приближенное решение (но не обязательно именно оно). Т.е. в Вашем случае, с точки зрения проекции $f$ на некое пространство, второе приближение ЛУЧШЕ. Ибо его проекция будет равна 0, а у первого приближения может быть и нет (практически наверняка). Беда лишь в том, что из малости проекции невозможно сделать однозначный вывод о самой величине. Кроме того, таким образом мы стараемся минимизировать отклонение правой части от 0. А что произойдет с отклонением приближенного решения от "точного", сказать трудно. Можно лишь утверждать, что в пределе, когда Вы будете учитывать все больше и больше гармоник, решение будет получаться все ближе и ближе к точному. Но вот КОГДА это произойдет, сказать наверняка достаточно сложно. Я думаю, что случаи, когда второе приближение "дальше от точного решения" нежели чем первое, достаточно редки, если вообще возможны. В качестве некой аналогии можно привести пример, когда первое приближение по Тейлору лучше, чем, скажем, второе или третье. Примеры привести можно, но вряд ли они весьма представительны.
С другой стороны. Я уже говорил. Если речь идет только лишь об одной задаче, то можно ее решить с кучей гармоник и получить еще более точное решение. В этом случае сравнение одной или трех гармоник носит отвлеченный характер. Другое дело, если Вы собираетесь использовать свой метод много раз в различных случаях. У Вас возникает законный вопрос, а стоит ли это делать. Как мне представляется, лучший выход - проведение вычислительного эксперимента. Возьмите десяток-другой разных случаев. Примените два подхода с одной и 3 гармониками, и сравните их с "точным" решением. Где его взять? Ну, скажем, в качестве точного возьмите решение с 20 гармониками. В результате Вы получите материал для сравнения, а не просто рассуждения на тему. И уже по этим результатам Вы сможете окончательно принять решение. Когда лучше, когда хуже, насколько лучше или хуже и тд.

-- Пн сен 29, 2014 11:46:17 --

P.S. Не стоит воспринимать мои слова про 20 гармоник слишком буквально. Наверное достаточно взять 4,5,6 ...
и если наблюдается стабилизация решения, то этим и ограничиться. Тем более, что в методе Ньютона, предыдущее решение можно, наверное, взять в качестве начального приближения.

[IgorS]

1 Еще раз спасибо за пояснения. Все понятно (А с численными экспериментами это мы мастера, столько насчитали ...)

2 Но немного упростим задачу. Имеется та же самая функция $H(t) = f(B(t))$, где $B=B_m \sin (t)$.
Можно ли сказать, чем больше гармоник в разложении $H(t) $ мы возьмем, тем более точное приближение мы получим?
Вроде бы это утверждение не вызывает сомнений.
То же самое можно сказать и в том случае, если функция $B$ будет представлена тригонометрическим полиномом, не так ли?

[sup]

Принцип простой. Чем шире базис, тем точнее приближения. Но и вычислений гораздо больше.
С другой стороны, начиная с какого-то момента наступит стабилизация и уточнения будут "невелики". Мне кажется, что "очень много" гармоник не потребуется, "хорошее" решение получится достаточно быстро.

[IgorS]

IgorS в сообщении #913537 писал(а):

Но немного упростим задачу. Имеется та же самая функция $H(t) = f(B(t))$, где $B=B_m \sin (t)$.
Можно ли сказать, чем больше гармоник в разложении $H(t) $ мы возьмем, тем более точное приближение мы получим?

Какая теорема это подтверждает?

[sup]

Пусть $Q=(0,L)\times (0,T)$. В области $Q$ рассматриваем задачу

$Lu \equiv G u_t(x,t) -(F(u_x))_x = 0$
$u(0,t) =0, \, t \in (0,T)$
$u(L,t) =\varphi(t), \, t \in (0,T)$
$u(x,0) =u(x,T), \, x \in (0,L)$

$G \neq 0$ - константа. Относительно $F(z)$ будем предполагать дифференцируемость и монотонность: $0 < a < F'(z) < b$. Предположим, что $\varphi(t)$ гладкая и периодическая с периодом $T$. Тогда у задачи существует и единственно регулярное решение из класса $u_t, u_{xx} \in L_2(Q)$.

Пусть $Y_n(x)$ - базис в $W^1_2(0,L)$, $Y_n(0) = Y_n(L) = 0$.
$u_{nk}(x,t) = \frac {x\varphi (t)}{L} + \sum \limits_{i=1}^{n}c_iY_i(x) + \sum \limits_{i=1}^{n}\sum \limits_{j=1}^{k}Y_i(x)\left (a_{ij}\cos (2j\pi t /T) + b_{ij}\sin (2j\pi t /T) \right )$
$u_{nk}(x,t)$ - приближенные решения из метода Галеркина:

$\int \limits_Q L(u_{nk})Y_i(x)dxdt = 0,\, 1 \leqslant i \leqslant n$
$\int \limits_Q L(u_{nk})Y_i(x)\sin (2j\pi t/T) dxdt = 0$,\, 1 \leqslant i \leqslant n,\, 1 \leqslant j \leqslant k
$\int \limits_Q L(u_{nk})Y_i(x)\cos (2j\pi t/T) dxdt = 0,\, 1 \leqslant i \leqslant n,\, 1 \leqslant j \leqslant k$

Тогда последовательность $u_{nk}(x,t)$ сходится к решению задачи при $n,k \to \infty$.

Вас такая формулировка устроит?
Точную ссылку на книжку с конкретной теоремой для такой задачи я вряд ли смогу дать.
Могу дать набросок доказательства, пригодный для понимания профессионалов.

-- Пн сен 29, 2014 16:05:01 --

Да, забыл упомянуть, вместо $F(z)$ Вы тоже можете брать приближенные выражения $\tilde F_l(z)$. Главное, чтобы с ростом индекса они стремились к $F(z)$.

[IgorS]

1. Спасибо, эта формулировка мне понятна и близка.

2. По-моему в двух последних скалярных произведениях вместо $dxdy$ написано $xdy$

3. Доказывать ничего не нужно.

Большое спасибо за внимание.

[sup]

Да, насчет $dxdt$ - мой промах. Исправил (у меня есть кое-какие привилегии на этот счет ).

[IgorS]

sup в сообщении #913556 писал(а):

Могу дать набросок доказательства, пригодный для понимания профессионалов.

Смотрел, смотрел на Ваши труды. Чтобы не было незавершенности в науке может быть попробуете (не сочтите за назойливость) привести "обещанное" ...