Выражение 0^0

[shust]

Имеет ли смысл выражение $0^0$ ?

Если да, то чему оно равно?
Если нет, то почему?

По возможности поясните свой выбор.

[PAV]

Я бы сказал, что это выражение не имеет математического смысла. Это в некотором смысле сленговое выражение, обозначающее возникновение определенной ситуации, в которой не работают стандартные методы и необходимо дополнительное исследование. Оно ведь не используется в формулах и выражениях, только в описании типа "здесь мы имеем неопределенность такого типа". По духу наподобие фразы: "Эта задача лежит на стыке таких-то и таких-то дисциплин".

[незваный гость]

shust писал(а):

Имеет ли смысл выражение $0^0$ ?

Ответ сильно зависит от того, что значит «иметь смысл». Смысл любой формулы в математике ей приписывается, $a^2$ — это только буква и цифра, определённым образом расположенные на бумаге. А то, что это $a$ в квадрате — так это приписываемый смысл. Может, я индексы сверху написал, бывает и такое.

Один из случаев употребления этой формулы PAV написал — как часть выражения «неопределённость типа $0^0$».

Другой случай — например, при решении уравнения $x^x = 5$. В это случае математического смысла нет, поскольку $0$ не принадлежит к области определения функции $x^x$.

[PAV]

А вообще забавная мода пошла - решать математические вопросы голосованием. Допустим теоретически, что в результате голосования большинство тех, кто примет в нем участие, выберут первый вариант (равно нулю). И что Вы предполагаете с этим делать? И почему только 0 или 1, вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.

И отрицательные?

[нг]

Brukvalub писал(а):

И отрицательные?

Конешно! ведь мы не оговаривали, што 0 — вещественный

[shust]

PAV писал(а):

вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.

Это вполне КОНКРЕТНОЕ числовое выражение, а не выражение, содержащее функции, и не предполагается каких-то предельных переходов. Число нуль, обозначенный символом $0$ подразумевается в обычном своем смысле как элемент множества целых чисел.
Кстати что изменится, если число нуль рассматривать как вещественное число?

[незваный гость]

shust писал(а):

Кстати что изменится, если число нуль рассматривать как вещественное число?

Ничего. А вот если комплексное — может и измениться. А впрочем … ничего не изменится. Доопределить можно любым числом. Но это будет уже другая функция.

shust писал(а):

Это вполне КОНКРЕТНОЕ числовое выражение

Хорошо. А что такое $0^0$? Чтобы было понятнее, что такое $a^b$? Это ведь обозначение, я уже писал. Обозначение чего? На этот вопрос могут быть разные ответы, и в зависимости от них, этому выражению будет приписан или не приписан смысл, причём разный.

Добавлено спустя 10 минут 14 секунд:

PAV писал(а):

решать математические вопросы голосованием

В данном случае вопрос представляется мне скорее метаматематическим. Вроде того, является ли $0$ натуральным числом, или что такое $C_n^k$ (кстати! о значении $k$ в этом выражении — отнюдь не $(C_n)^k$ ), недавно обсуждавшееся. А голосование — кто как понимает обозначение — пожалуй, возможно.

[shust]

незваный гость писал(а):

На этот вопрос могут быть разные ответы, и в зависимости от них, этому выражению будет приписан или не приписан смысл, причём разный.

Например?

[Brukvalub]

Положим

\[ 0^0 = a \Rightarrow a^2 = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} {a = 0} \\ {a = 1} \\ \end{array}} \right. \]

[ddn]

Величина $b^a$



На множестве натуральных чисел (включив нуль) будет определена в теоретико-множественном смысле, как число (мощность множества) всех отображений из множества $A$ c $card(A)=a$ элементами во множество с $card(B)=b$ элементами:
$(A\to B)=\{\phi |\phi\in Step(A\times B), \forall \alpha\in A \exists! \beta\in B ((\alpha,\beta)\in \phi)\}$,
а по определению имеем Def: $card(B)^{card(A)}=card(A\to B)$
что для случая $A=\{\}$ и $B=\{\}$ даст:
$A\times B=\{\}\times \{\}=\{\}$
$Step(A\times B)=Step(\{\})=\{\{\}\}$
$\forall \alpha\in A \exists! \beta\in B ((\alpha,\beta)\in \phi) \Leftrightarrow$ $\forall \alpha\in \{\} \exists! \beta \in B ((\alpha,\beta)\in \phi) \Leftrightarrow$ $\forall \alpha\in \{\} (P(\beta,\phi)) \Leftrightarrow true$ и
$(\{\}\to \{\})=\{\phi |\phi\in \{\{\}\}\}=\{\{\}\}$,
тогда по определению Def: $0^0=card(\{\})^{card(\{\})}=card(\{\}\to \{\})=card(\{\{\}\})=1$
т.е. пустое множество - единственное отображение из пустого множества в пустое множество,
что и дает $0^0=1$.

Если $a$ - произвольное неотрицательное целое, $b$ - произвольное конечное число (вещественное или комплексное), а $b^a$ - член ряда, то по определению, для нулевого $a$: $b^a=1$.



На множестве вещественных чисел (включив бесконечности определенного знака) выражение для каждого $b$ будет максимально широко определено по $a$, применением и выполнимостью тождеств $b^1=b$, $b^{n+1}=b^n\cdot b$ (где $n\in\mathbb{N}$), $(b^{a_1})^{a_2}=b^{a_1\cdot a_2}$, а именно:
1) при отрицательных вещественных $b$ для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$;
2) при нулевом $b$ для всех положительных рациональных $a$;
3) при положительных вещественных $b$ для всех рациональных $a$.
Тогда тождество $b^{a_1+a_2}=b^{a_1}\cdot b^{a_2}$ будет выполнено автоматически.
Величины $b^a$ и $(-b)^a$, если определены, могут отличаться лишь знаком и можно рассмотреть только положительные $b$, включая $+0$. Таблица $b^a$:

$\begin{array}{ccccccc} & | & -\infty & -R & 0 & +R & +\infty \\ \left- & + & \left- & \left- & \left- & \left- & \left- \\ +0 & | & \infty & \infty & & 0 & 0 \\ \epsilon & | & +\infty & N & 1 & \epsilon & 0 \\ 1 & | & & 1 & 1 & 1 & \\ N & | & 0 & \epsilon & 1 & N & +\infty \\ +\infty & | & 0 & 0 & & +\infty & +\infty \end{array} \right)$

Здесь $\epsilon\in (0,1)$, $N\in (1,+\infty)$ и $R\in (0,+\infty)$.
Взяты существующие пределы для бесконечных $a$ и $b$, и для $a$ и $b$ с бесконечными значениями ($a<0$ и $b=0$), и степень для них доопределена.
Сразу видны неопределенности $0^0$, $+\infty^0$, $1^{-\infty}$ и $1^{+\infty}$, могущие принимать любое значение из $[0,+\infty]$ при взятии предела по множеству определения.
Для нулевого, а также соответствующих отрицательных $b$, возникнет также и неопределенность со знаком.

Доопределим степень на все множество $[-\infty,+\infty]^2$, допуская многозначность, с помощью множественного предела. Здесь мы используем строго монотонную функцию $exp(\cdot)$, определеную для вещественных $x$ как $exp(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{x^n}{n!}$, и обратную ей функцию $ln(\cdot)$. Тогда степень будет:
1) при отрицательно бесконечном $b$
- определена для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=-\infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех положительных вещественных $a$ не рациональных вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm \infty$;
- полностью неопределена для нулевого $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
2) при отрицательном вещественном $b$ не равном -1
- определена для бесконечного $a$ знака $-sign(ln(|b|))$: $b^a=0$;
- определена для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=(-1)^n\cdot exp(a\cdot ln(|b|))$;
- определена величиной, но неопределена знаком для бесконечного $a$ знака $sign(ln(|b|))$: $b^a=\pm \infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех вещественных $a$ не рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm exp(a\cdot ln(|b|))$;
2') при отрицательном $b$ равном -1
- определена для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=(-1)^n$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех вещественных $a$ не рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm 1$;
- полностью неопределена для бесконечных $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
3) при нулевом $b$
- определена для положительного бесконечного $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена величиной, но неопределена знаком для отрицательного бесконечного $a$: $b^a=\pm \infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=\pm \infty$;
- полностью неопределена для нулевого $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
4) при положительном вещественном $b$ не равном 1
- определена для бесконечного $a$ знака $-sign(ln(|b|))$: $b^a=0$;
- определена для бесконечного $a$ знака $sign(ln(|b|))$: $b^a=+\infty$;
- определена для всех вещественных: $b^a=exp(a\cdot ln(b))$;
4') при положительном $b$ равном 1
- определена для всех вещественных $a$: $b^a=1$;
- полностью неопределена величиной, но определена знаком для бесконечных $a$: $b^a=[0,+\infty]$;
5) при положительно бесконечном $b$
- определена для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных вещественных $a$: $b^a=+\infty$;
- полностью неопределена величиной, но определена знаком для нулевого $a$: $b^a=[0,+\infty]$.

красный – определены величина и знак;
желтый - определено величина, но неопределен знак;
сиреневый - неопределена величина, но определен знак (неотрицательно);
серый - неопределены величина и знак.



На множестве комплексных чисел (включив бесконечность с неопределенном фазовым множителем) функция $b^a=exp(a\cdot Ln(b))=exp(a\cdot (ln(b)+i 2 \pi n))$ (где $n\in\mathbb{Z}$)
- при ненулевом и конечном $b$ и ненулевом и конечном $a$ будет иметь счетное число комплексных значений;
- при ненулевом и конечном $b$ и нулевом $a$ будет иметь значение 1;
- при ненулевом и конечном $b$ и бесконечном $a$ будет иметь полностью неопределенное значение;
- и при нулевом или бесконечном $b$ будет иметь полностью неопределенное значение.

[drowsy]

Пусть $0^0=x$. Возьмите log of both sides, получите противоречие, распишитесь.

[незваный гость]

drowsy писал(а):

Пусть $0^0=x$. Возьмите log of both sides,

Ну, и чему же равен $\ln 0^0$?!

drowsy писал(а):

получите противоречие, распишитесь.

А в чём, собственно, противоречие? Пример: $x^3 = -1$. Мне вообще кажется, что логарифмировать нужно с некоторой осторожностью…

[AD]

Я привык считать, что $0^0=1$ - продолжение функции $x^0$ по непрерывности. Но, конечно, вопрос "имеет ли выражение смысл?" не имеет смысла ... "Функция определена или нет?" - уже лучше.

[Gordmit]

AD писал(а):

Я привык считать, что $0^0=1$ - продолжение функции $x^0$ по непрерывности. Но, конечно, вопрос "имеет ли выражение смысл?" не имеет смысла ... "Функция определена или нет?" - уже лучше.

А почему именно функции $x^0$? Почему, скажем, не $0^x$, $x>0$? Тогда получится $0^0=0$.
Мне кажется, здесь не совсем корректно говорить о функциях, т.к. функций здесь никаких не задано, задано только выражение $0^0$.