Квантование делается без проблем. Проблемы лезут, когда эту теорию пытаются сделать перенормируемой.
Квантование можно проделать, практически, любым известным способом. Каноническое квантование придумали ещё в 30-е годы. Квантование через интеграл по траекториям - тогда же, когда и для других полей. См., напр.,
Фейнмановские лекции по гравитации. Этот подход, в том числе, позволяет строить рассуждения о квазиклассическом поведении квантовой гравитации в окрестности известных классических решений.
Перенормируемость в базовом понимании не лезет ни в какие ворота: константа гравитационного взаимодействия имеет размерность
а для перенормируемости необходимо, чтобы степень была
Удаётся перенормировать калибровочные теории, но гравитация не является калибровочной в узком смысле, хотя аналогия очень близка.